Question

（2013•江宁区二模）如图1，在平面直角坐标系中，二次函数y=-x²-2x+2的图象与y轴交于点C，以OC为一边向左侧作正方形OCBA．

（1）判断点B是否在二次函数y=-x²-2x+2的图象上？并说明理由；
（2）用配方法求二次函数y=-x²-2x+2的图象的对称轴；
（3）如图2，把正方形OCBA绕点O顺时针旋转α后得到正方形A₁B₁C₁O（0°＜α＜90°）．
①当tanα﹦

1

2

时，二次函数y=-x²-2x+2的图象的对称轴上是否存在一点P，使△PB₁C₁为直角三角形？若存在，请求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．
②在二次函数y=-x²-2x+2的图象的对称轴上是否存在一点P，使△PB₁C₁为等腰直角三角形？若存在，请直接写出此时tanα的值；若不存在，请说明理由﹒

Answer 1

分析：（1）令x=0，求出y的值，得到正方形ABCO的边长，然后写出点B的坐标，再把横坐标代入二次函数关系式，计算即可验证；
（2）根据配方法，先提取-1，然后整理成完全平方公式的形式得到顶点式解析式，再写出对称轴即可；
（3）①设旋转后的正方形OA₁B₁C₁的边B₁C₁交y轴于点D，二次函数y=-x²-2x+2的图象的对称轴交OA₁于点E，交x轴于点F，然后分（i）点B₁为直角顶点时，根据tanα=

1

2

求出EF，再利用勾股定理列式求出OE，然后求出A₁E，再根据Rt△EFO和Rt△EA₁P₁相似，利用相似三角形对应边成比例列式求出P₁E，然后求出P₁F，即可得到点P的坐标；（ii）点C₁为直角顶点时，根据同角的余角相等求出∠P₃=∠EOF，再根据正切值求出P₃F，即可得到点P的坐标；（iii）B₁C₁为斜边时，以B₁C₁为直径的圆与对称轴的交点即为所求，求出∠AOA₁=∠C₁OD，再根据α的正切值求出C₁D=1，得到点D是B₁C₁的中点，再求出以B₁C₁为直径的圆与对称轴的交点只有一个P₂，然后利用勾股定理列式求出OD的长，即可得到点P的坐标；
②根据正方形的性质，点A₁落在对称轴上时，点A₁即为所求的点P，利用勾股定理求出P₁F，然后根据锐角的正切的定义写出即可；点P为A₁B₁的延长线与对称轴的交点时，由Rt△P₂A₁E和Rt△OFE相似，利用相似三角形对应边成比例求出A₁E=4EF，设再用EF表示出OE，在Rt△OEF中，利用勾股定理列出方程求出EF的长，再根据锐角的正切的定义列式即可得解．

解答：解：（1）令x=0，y=2，
∴正方形的边长为2，
∴由题意得点B的坐标为（-2，2），
把x=-2代入二次函数关系式y=-x²-2x+2中，得y=2，
所以点B在二次函数y=-x²-2x+2的图象上；

（2）y=-x²-2x+2=-（x²+2x-2）=-（x+1）²+3，
所以，二次函数y=-x²-2x+2的图象的对称轴直线x=-1；

（3）①存在．
设旋转后的正方形OA₁B₁C₁的边B₁C₁交y轴于点D，
二次函数y=-x²-2x+2的图象的对称轴交OA₁于点E，交x轴于点F，
（i）当点B₁为直角顶点，显然A₁B₁与对称轴的交点P₁即为所求，
∵tanα=

EF

OF

=

EF

1

=

1

2

，
∴EF=

1

2

，
根据勾股定理，OE=

EF2+OF2

=

( 1 2 )2+12

=

5

2

，
∴A₁E=2-

5

2

，
由Rt△EFO∽Rt△EA₁P₁，可得

A1E

EF

=

P1E

OE

，
即

2- 5 2

1 2

=

P1E

5 2

，
解得P₁E=2

5

-

5

2

，
∴P₁F=2

5

-

5

2

+

1

2

=2

5

-2，
因此，P₁点坐标为（-1，2

5

-2）；
（ii）当点C₁为直角顶点，显然射线C₁O与对称轴的交点P₃即为所求，
∵∠EOF+∠FOP₃=90°，∠FOP₃+∠P₃=90°，
∴∠P₃=∠EOF=α，
tan∠P₃=tanα=

OF

P3F

=

1

P3F

=

1

2

，
解得P₃F=2，
因此，P₃点的坐标为（-1，-2）；
（iii）当B₁C₁为斜边时，以B₁C₁为直径的圆与对称轴的交点即为所求，
由已知，∵∠AOA₁=∠C₁OD，
∴tanα﹦

C1D

OC1

=

1

2

，
∴C₁D=

1

2

OC₁=1，即点D是B₁C₁的中点，
∵B₁C₁的中点D到对称轴的距离恰好等于1，
∴以B₁C₁为直径的圆与对称轴的交点只有一个P₂，
根据勾股定理，OD=

OC12+C1D2

=

22+12

=

5

，
因此，P₂点的坐标为（-1，

5

），
故满足题设条件的P点有三个：P₁（-1，2

5

-2），P₂（-1，

5

），P₃（-1，-2）；


②存在．
如图1，点A₁落在对称轴上时，根据勾股定理，P₁F=

22-12

=

3

，
tanα=

P1F

OF

=

3

1

=

3

；
如图2，点P为A₁B₁的延长线与对称轴的交点时，
∵△PB₁C₁为等腰直角三角形，
∴P₂B₁=B₁C₁=2，
∴A₁P₂=2+2=4，
易得，Rt△P₂A₁E∽Rt△OFE，
∴

A1P2

OF

=

A1E

EF

，
即

4

1

=

A1E

EF

，
∴A₁E=4EF，
∴OE=2-4EF，
在Rt△OEF中，OF²+EF²=OE²，
即1²+EF²=（2-4EF）²，
整理得，15EF²-16EF+3=0，
解得EF=

8- 19

15

或EF=

8+ 19

15

（舍去），
所以，tanα=

EF

OF

=

EF

1

=

8- 19

15

．

点评：本题是二次函数综合题型，主要考查了求二次函数图象与坐标轴的交点，正方形的性质，配方法，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数，等腰直角三角形的性质，难点在于第（3）小题的两个小题都要分情况讨论，并且运算量较大．