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    如图，以直角梯形OBDC的下底OB所在的直线为x轴，以垂直于底边的腰OC所在的直线为y轴，O为坐标原点，建立平面直角坐标系，CD和OB的长是方程x2-5x+4=0的两个根．
    （1）试求S△OCD：S△ODB的值；
    （2）若OD2=CD•OB，试求直线DB的解析式；
    （3）在（2）的条件下，线段OD上是否存在一点P，过P做PM∥x轴交y轴于M，交DB于N，过N作NQ∥y轴交x轴于Q，则四边形MNQO的面积等于梯形OBDC面积的一半？若存在，请说明理由，并求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．

    【答案】分析：（1）求出程x2-5x+4=0的两根，可知CD=1，OB=4；分别用OC表示出△OCD与△ODB的面积，再求出比值；
    （2）OD2=CD•OB即OD=2，过点D作DE⊥OB于E．可分别求出B，D两点的坐标，用待定系数法求出过这两点直线的解析式；
    （3）直线OD的解析式为y=x，设P点的坐标（a，b），N点纵坐标为a，代入直线DB的解析式即可求出x的值．
    解答：解：（1）由方程x2-5x+4=0解得
    x1=1，x2=4，
    即CD=1，OB=4；（2分）
    S△OCD=CD•OC=OC；
    S△ODB=OB•OC=2OC，
    ∴S△OCD：S△ODB=． （3分）

    （2）∵OD2=CD•OB即OD=2．过点D作DE⊥OB于E．
    点D（1，），点B（4，0），（4分）
    ∴设直线DB的解析式为y=kx+b，则有．
    解得k=，b=，所求直线DB的解析式为y=x+．   （5分）

    （3）存在点P，理由如下：（6分）
    由题意，得
    直线OD的解析式为y=x，设P点的坐标（a，b），
    ∴N点纵坐标为a，
    ∴a=x+．
    ∴x=4-3a，
    ∴（4-3a）×a=即12a2-16a+5=0．
    ∵（-16）2-4×12×5=16＞0，
    ∴解得a1=，a2=．
    ∴点P坐标为（，）或（，）．                           （8分）
    点评：此题比较复杂，把一次函数与一元二次方程，梯形的性质相结合，使题目具有一定的综合性，是一道好题．
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    1.试求S△OCD: S△ODB的值;

    2.若OD2=CD×OB,试求直线DB的解析式

    3.在(2)的条件下,线段OD上是否存在一点P,过P作PM∥x轴交y轴于M,交DB于N,过N作NQ∥y轴交x轴于Q,使四边形MNQO的面积等于梯形OBDC面积的一半,请说明理由.

     

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