Question

【题目】如图，已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过点A(-3,2),B(0,-2)其对称轴为直线x= ，C(0, )为y轴上一点，直线AC与抛物线交于另一点D，

（1）求抛物线的解析式；

（2）在抛物线的对称轴上是否存在点F使△ADF是直角三角形，如果存在，求出点F的坐标，如果不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）y=x2-x-2 ;（2）存在.F点坐标为（ ，13）,（，）或（，-）,（，-7）.

【解析】

（1）根据待定系数法求解即可；

（2）先利用待定系数法求出直线AC的解析式，再和抛物线的解析式联立组成方程组求出点D的坐标，设F（，m），然后根据两点间的距离公式分别表示出AD2、AF2、DF2，再分三种情况根据勾股定理列出方程，解方程即可求得结果.

解：（1）由题意得：，解得，

∴抛物线的解析式为y=x2－x－2 ；

（2）存在点F使△ADF是直角三角形.

设直线AC的解析式为：，把A(－3，2)、C(0，)代入，得，解得：，∴直线AC的解析式为：，

联立方程组，解得：，，∴点D坐标为（5，－2），

设F（，m），AD2=(5+3)2+(－2－2)2=80，AF2=(+3)2+(m－2)2，DF2=(5－)2+(m+2)2，

当AD2+DF2=AF2时，△ADF是直角三角形，则80+(5－)2+(m+2)2=(+3)2+(m－2)2，

解得m=－7，此时F点坐标为（，－7）；

当DF2+AF2=AD2时，△ADF是直角三角形，则(5－)2+(m+2)2+(+3)2+(m－2)2=80，

解得m=±，∴F点坐标为（，）或（，－）；

当AD2+AF2=DF2时，△ADF也是直角三角形，则80+(+3)2+(m－2)2=(5－)2+(m+2)2，

解得：m=13，∴F点坐标为（，13）.

综上，在抛物线的对称轴上存在点F，使△ADF是直角三角形，且F点坐标为（，13）或（，）或（，－）或（，－7）.