Question

如图，二次函数的图象与x轴相交于点A（-3，0）、B（-1，0），与y轴相交于点C（0，3），点P是该图象上的动点；一次函数y=kx-4k（k≠0）的图象过点P交x轴于点Q．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）当点P的坐标为（-4，m）时，求证：∠OPC=∠AQC；
（3）点M，N分别在线段AQ、CQ上，点M以每秒3个单位长度的速度从点A向点Q运动，同时，点N以每秒1个单位长度的速度从点C向点Q运动，当点M，N中有一点到达Q点时，两点同时停止运动，设运动时间为t秒．
①连接AN，当△AMN的面积最大时，求t的值；
②直线PQ能否垂直平分线段MN？若能，请求出此时点P的坐标；若不能，请说明你的理由．

Answer 1

（1）设抛物线的解析式为：y=a（x+3）（x+1），
∵抛物线经过点C（0，3），
∴3=a×3×1，解得a=1．
∴抛物线的解析式为：y=（x+3）（x+1）=x²+4x+3．

（2）证明：在抛物线解析式y=x²+4x+3中，当x=-4时，y=3，∴P（-4，3）．
∵P（-4，3），C（0，3），
∴PC=4，PC∥x轴．
∵一次函数y=kx-4k（k≠0）的图象交x轴于点Q，当y=0时，x=4，
∴Q（4，0），OQ=4．
∴PC=OQ，又∵PC∥x轴，
∴四边形POQC是平行四边形，
∴∠OPC=∠AQC．

（3）①在Rt△COQ中，OC=3，OQ=4，由勾股定理得：CQ=5．
如答图1所示，过点N作ND⊥x轴于点D，则ND∥OC，

∴△QND∽△QCO，
∴

ND

OC

=

NQ

CQ

，即

ND

3

=

5-t

5

，解得：ND=3-

3

5

t．
设S=S_△AMN，则：
S=

1

2

AM•ND=

1

2

•3t•（3-

3

5

t）=-

9

10

（t-

5

2

）²+

45

8

．
又∵AQ=7，∴点M到达终点的时间为t=

7

3

，
∴S=-

9

10

（t-

5

2

）²+

45

8

（0＜t≤

7

3

）．
∵-

9

10

＜0，

7

3

＜

5

2

，且x＜

5

2

时，y随x的增大而增大，
∴当t=

7

3

时，△AMN的面积最大．
②假设直线PQ能够垂直平分线段MN，则有QM=QN，且PQ⊥MN，PQ平分∠AQC．
由QM=QN，得：7-3t=5-t，解得t=1．
设P（x，x²+4x+3），
若直线PQ⊥MN，则：过P作直线PE⊥x轴，垂足为E，
则△PEQ∽△MDN，
∴

PE

EQ

=

MD

DN

，
∴

x2+4x+3

4-x

=

4 5

12 5

∴x=

-13± 109

6

，
∴P（

-13+ 109

6

，

37- 109

18

）或（

-13- 109

6

，

37+ 109

18

）
∴直线PQ能垂直平分线段MN．