Question

已知：如图，圆内接四边形ABCD的两边AB，DC的延长线相交于点E，DF经过⊙O的圆心，交AB于点F，AB=BE，连接AC，且OD=3，FA=FB=．
（1）求证：△DAC∽△DEA；
（2）求出DA，AC的长度．

Answer 1

解：（1）∵DF过圆心，且AF=BF，
∴DF⊥AB，=，
∴∠ACD=∠EAD，又∠ADC=∠EDA，
∴△DAC∽△DEA；

（2）连接OA，如图所示：
∵DF⊥AB，
∴∠AFD=∠DFE=90°，
在Rt△AOF中，OA=OD=3，AF=，
根据勾股定理得：OF==2，
∴DF=OD+OF=3+2=5，
在Rt△ADF中，AF=，DF=5，
根据勾股定理得：AD==，
又EF=FB+BE=FB+AB=3，
在Rt△DEF中，根据勾股定理得：DE==，
∴AE=AF+EF=4，
∵△DAC∽△DEA，
∴=，即=，
则AC=．
分析：（1）由DF过圆心，且AF=BF，利用垂径定理的逆定理得到DF垂直于AB，且D为优弧ADB的中点，得到两条弧相等，根据等弧所对的圆周角相等可得出一对角相等，再由一对公共角相等，利用两对对应角相等的两三角形相似可得出三角形DAC与三角形DEA相似；
（2）连接OA，由第一问得出DF与AB垂直，得到三角形AOF为直角三角形，根据OA及AF的长，利用勾股定理求出OF的长，再由DF=OD+OF求出DF的长，在直角三角形ADF中，由AF及DF的长，利用勾股定理即可求出AD的长；由AB=BE=2AF=2BF，根据FB的长求出EF的长，在直角三角形DEF中，由DF及EF的长，利用勾股定理求出DE的长，同时根据AF+EF=AE求出AE的长，由第一问的相似三角形，根据相似的性质得出比例式，将各自的值代入即可求出AC的长．
点评：此题考查了垂径定理，勾股定理，圆周角定理，以及相似三角形的判定与性质，垂径定理的内容为：垂直于弦的直径平分于弦，且平分弦所对的弧，熟练掌握定理是解本题的关键．