Question

10．如图，在一竖直平台AB的点B处，测得楼房CD顶部点D的仰角为45°，底部点C的俯角为30°．已知楼高100米，求平台的高度．

Answer 1

分析 设平台AB的高度的高度为h，过点B作BE⊥CD于点E，根据题意得到∠DBE=45°，∠CBE=30°．推出四边形ABEC为矩形．根据矩形的性质得到CE=AB=h．根据三角函数的定义得到BE=CE•cot30°=h×$\sqrt{3}$=$\sqrt{3}$h．DE=BE=$\sqrt{3}$h．根据CD=CE+DE=h（$\sqrt{3}$+1）=100，即可得到结论．

解答 解：如图，设平台AB的高度的高度为h，过点B作BE⊥CD于点E，
根据题意，∠DBE=45°，∠CBE=30°．
∵AB⊥AC，CD⊥AC，
∴四边形ABEC为矩形．
∴CE=AB=h．
在Rt△CBE中，cot∠CBE=$\frac{BE}{CE}$，
∴BE=CE•cot30°=h×$\sqrt{3}$=$\sqrt{3}$h．
在Rt△BDE中，由∠DBE=45°，
得DE=BE=$\sqrt{3}$h．
∴CD=CE+DE=h（$\sqrt{3}$+1）=100，
解得：h=$\frac{100}{\sqrt{3}+1}$=50$\sqrt{3}$-50，
答：平台的高度为（50$\sqrt{3}$-50）米．

点评 本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，本题要求学生借助俯角构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形．