Question

如图，已知△ABC内接于⊙O，AE切⊙O于点A，BC∥AE．
（1）求证：△ABC是等腰三角形；
（2）设AB=10cm，BC=8cm，点P是射线AE上的点，若以A、P、C为顶点的三角形与△ABC相似，问这样的点有几个并求AP的长．

Answer 1

（1）证明：∵BC∥AE，
∴∠BCA=∠CAE，
又∵AE切⊙O于点A，
∴∠CAE=∠ABC，
∴∠BCA=∠ABC，
∴AB=AC，
即△ABC是等腰三角形；

（2）解：射线AE上满足条件的点有两个．
①过点C作AB的平行线交AE于点P₁．
∵BC∥AE，
∴ABCP₁为平行四边形，
∴AP₁=BC=8．
②过点C作⊙O的切线交AE于点P₂，
∴∠P₂AC=∠ABC，
又∠P₂CA=∠ACB，
∴△AP₂C∽△CAB，
∴AP₂：AC=AC：BC，
∴AP₂=AC²：BC=12.5．
分析：（1）利用弦切角定理及平行线的性质，证明∠B=∠C，得出△ABC是等腰三角形；
（2）由于∠CAP=∠B，那么以A、P、C为顶点与△ABC相似的三角形只有△CAP₁或△P₂AC，再根据相似三角形的性质求出AP的长．
点评：综合考查了切线的性质，等腰三角形的判定，相似三角形的判定和性质．本题较难．