Question

如图，已知△ABC的三个顶点坐标分别为A（-4，0）、B（1，0）、C（-2，6）．
（1）求经过A、B、C三点的抛物线解析式；
（2）设直线BC交y轴于点E，连接AE，求证：AE=CE；
（3）设抛物线与y轴交于点D，连接AD交BC于点F，试问以A、B、F为顶点的三角形与△ABC相似吗？

Answer 1

解：（1）设函数解析式为：y=ax²+bx+c，
由函数经过点A（-4，0）、B（1，0）、C（-2，6），
可得，
解得：，
故经过A、B、C三点的抛物线解析式为：y=-x²-3x+4；

（2）设直线BC的函数解析式为y=kx+b，
由题意得：，
解得：，
即直线BC的解析式为y=-2x+2．
故可得点E的坐标为（0，2），
从而可得：AE==2，CE==2，
故可得出AE=CE；

（3）相似．理由如下：
设直线AD的解析式为y=kx+b，
则，
解得：，
即直线AD的解析式为y=x+4．
联立直线AD与直线BC的函数解析式可得：，
解得：，
即点F的坐标为（-，），
则BF==，
又∵AB=5，BC==3，
∴=，=，
∴=，
又∵∠ABF=∠CBA，
∴△ABF∽△CBA．
故以A、B、F为顶点的三角形与△ABC相似．
分析：（1）利用待定系数发求解即可得出抛物线的解析式；
（2）求出直线BC的函数解析式，从而得出点E的坐标，然后分别求出AE及CE的长度即可证明出结论；
（3）求出AD的函数解析式，然后结合直线BC的解析式可得出点F的坐标，由题意得∠ABF=∠CBA，然后判断出是否等于即可作出判断．
点评：此题属于二次函数的综合题目，涉及了相似三角形的判定与性质、待定系数法求二次函数解析式，两点间的距离公式，解答本题要求我们仔细审题，将所学知识联系起来，综合解答．