Question

甲、乙两车从A地将一批物品匀速运往B地，甲出发0.5h后乙开始出发，结果比甲早1h到达B地．甲车离A地的路程s₁（km）与行驶的时间t（h）之间的函数关系，如图中线段OP所示；乙车离A地的路程s₂（km）与行驶的时间t（h）之间的函数关系，如图中线段MN所示，a表示A、B两地之间的距离．请结合图中的信息解决如下问题：
（1）分别求出线段MN、OP的函数关系式；
（2）求出a的值；
（3）设甲、乙两车之间的距离为s（km），求s与甲车行驶时间t（h）的函数关系式，并求出s的最大值．

Answer 1

分析：（1）先确定出点M的坐标，然后利用待定系数法求一次函数解析式解答即可；
（2）先求出甲、乙的速度，然后根据乙的时间等于甲的时间减去多用的时间列出方程，解方程即可得到a的值；
（3）求出乙到达B地的时间，然后分四个阶段表示出甲、乙两车之间的距离，再根据一次函数的增减性求出各阶段时的最大值，即可得解．

解答：解：（1）由题意知，M（0.5，0），
设OP的解析式为S₁=k₁t，
则1.5k₁=60，
解得k₁=40，
∴S₁=40t；
设MN的解析式为S₂=k₂t+b，
则

0．5k2+b=0 1．5k2+b=60

，
解得

k2=60 b=-30

，
所以，S₂=60t-30，
因此，线段OP、MN表示的函数关系式分别为：S₁=40t，S₂=60t-30；

（2）由（1）得甲的速度为40千米/小时，乙的速度为60千米/小时，
根据题意得，

a

60

=

a

40

-1-0.5，
解得，a=180；

（3）乙到达B地的时间为：180÷60+0.5=3.5小时，
①当0≤t≤0.5时，s=S₁=40t，最大值S=40×0.5=20km；
②当0.5＜t≤1.5时，s=S₁-S₂=40t-（60t-30）=-20t+30，没有最大值；
③当1.5＜t≤3.5时，s=S₂-S₁=60t-30-40t=20t-30，最大值S=20×3.5-30=40；
④当3.5＜t≤4.5时，s=180-S₁=180-40t，没有最大值；
当t=3.5时，s的值最大为：20×3.5-30=40．

点评：本题考查了一次函数的应用，主要利用了待定系数法求函数解析式，行程问题，以及利用一次函数的增减性求最大值，难点在于（3）要分段讨论．