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    精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
    如图，已知抛物线经过点A（-2，0），抛物线的顶点为D，过O作射线OM∥AD．过顶点D平行于x轴的直线交射线OM于点C，B在x轴正半轴上，连接BC．
    （1）求该抛物线的解析式；
    （2）若动点P从点O出发，以每秒l个长度单位的速度沿射线OM运动，设点P运动的时间为t（s）．问：当t为何值时，四边形DAOP分别为平行四边形？直角梯形？等腰梯形？
    （3）若OC=OB，动点P和动点Q分别从点O和点B同时出发，分别以每秒l个长度单位和2个长度单位的速度沿OC和BO运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动设它们运动的时间为t（s），连接PQ，当t为何值时，四边形BCPQ的面积最小？并求出最小值．
    （4）在（3）中当t为何值时，以O，P，Q为顶点的三角形与△OAD相似？（直接写出答案）

    【答案】分析：（1）将A的坐标代入抛物线y=a（x-1）2+3（a≠0）可得a的值，即可得到抛物线的解析式；
    （2）易得D的坐标，过D作DN⊥OB于N；进而可得DN、AN、AD的长，根据平行四边形，直角梯形，等腰梯形的性质，用t将其中的关系表示出来，并求解可得答案；
    （3）根据（2）的结论，易得△OCB是等边三角形，可得BQ、PE关于t的关系式，将四边形的面积用t表示出来，进而分析可得最小值及此时t的值，进而可求得PQ的长．
    （4）分别利用当△AOD∽△OQP与当△AOD∽△OPQ，得出对应边比值相等，进而求出即可．
    解答：解：（1）∵抛物线y=a（x-1）2+3（a≠0）经过点A（-2，0），
    ∴0=9a+3，
    ∴a=-，
    ∴y=-（x-1）2+3；

    （2））①∵D为抛物线的顶点，
    ∴D（1，3），
    过D作DN⊥OB于N，则DN=3，AN=3，
    ∴AD==6，
    ∴∠DAO=60°．
    ∵OM∥AD，
    ①当AD=OP时，四边形DAOP是平行四边形，
    ∴OP=6，
    ∴t=6．
    ②当DP⊥OM时，四边形DAOP是直角梯形，
    过O作OH⊥AD于H，AO=2，则AH=1（如果没求出∠DAO=60°可由Rt△OHA∽Rt△DNA（求AH=1）
    ∴OP=DH=5，t=5，
    ③当PD=OA时，四边形DAOP是等腰梯形，
    易证：△AOH≌△CDP，
    ∴AH=CP，
    ∴OP=AD-2AH=6-2=4，
    ∴t=4．
    综上所述：当t=6、5、4时，对应四边形分别是平行四边形、直角梯形、等腰梯形；

    （3）∵D为抛物线的顶点坐标为：D（1，3），
    过D作DN⊥OB于N，则DN=3，AN=3，
    ∴AD==6，
    ∴∠DAO=60°，
    ∴∠COB=60°，OC=OB，△OCB是等边三角形．
    则OB=OC=AD=6，OP=t，BQ=2t，
    ∴OQ=6-2t（0＜t＜3）
    过P作PE⊥OQ于E，则，
    ∴SBCPQ=×6×3-×（6-2t）×t，
    =，
    当时，SBCPQ的面积最小值为，

    （4）当△AOD∽△OQP，
    则=，
    ∵AO=2，AD=6，QO=6-2t，OP=t，
    ∴=，
    解得：t=，
    当△AOD∽△OPQ，
    则=，
    即=，
    解得：t=，
    故t=或时以O，P，Q为顶点的三角形与△OAD相似．
    点评：本题考查了二次函数的综合应用以及相似三角形的判定与性质、平行四边形、直角梯形、等腰梯形的判定等知识，将二次函数的图象与解析式相结合处理问题、解决问题是考查重点．
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    如图，已知抛物线经过原点O和x轴上另一点A，它的对称轴x=-2与x轴交于点C，直线y=-精英家教网2x+1经过抛物线上一点B（2，m），且与y轴．直线x=-2分别交于点D、E．
    （1）求m的值及该抛物线对应的函数关系式；
    （2）①判断△CBE的形状，并说明理由；②判断CD与BE的位置关系；
    （3）若P（x，y）是该抛物线上的一个动点，是否存在这样的点P，使得PB=PE？若存在，试求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

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    （2013•衡阳）如图，已知抛物线经过A（1，0），B（0，3）两点，对称轴是x=-1．
    （1）求抛物线对应的函数关系式；
    （2）动点Q从点O出发，以每秒1个单位长度的速度在线段OA上运动，同时动点M从O点出发以每秒3个单位长度的速度在线段OB上运动，过点Q作x轴的垂线交线段AB于点N，交抛物线于点P，设运动的时间为t秒．
    ①当t为何值时，四边形OMPQ为矩形；
    ②△AON能否为等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由．

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    如图，已知抛物线经过原点O和x轴上另一点A，它的对称轴x=2与x轴交于点C，直线y=-2x-1经过抛物线上一点B（-2，m），且与y轴、直线x=2分别交于点D、E，
    （1）求m的值及该抛物线对应的函数关系式；
    （2）求证：①CB=CE；②D是BE的中点．

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    如图，已知抛物线经过坐标原点，与x轴的另一个交点为A，且顶点M坐标为（1，2），
    （1）求该抛物线的解析式；
    （2）现将它向右平移m（m＞0）个单位，所得抛物线与x轴交于C、D两点，与原抛物线交于点P，△CDP的面积为S，求S关于m的关系式；
    （3）当m=2时，点Q为平移后的抛物线的一动点，是否存在这样的⊙Q，使得⊙Q与两坐标轴都相切？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

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    如图，已知抛物线经过原点O和x轴上的另一点E，顶点为M（2，4），矩形ABCD的顶点A与O重合，AD，AB分别在x，y轴上，且AD=2，AB=3．
    （1）求该抛物线对应的函数解析式；
    （2）现将矩形ABCD以每秒1个单位长度的速度从左图所示位置沿x轴的正方向匀速平行移动；同时AB上一动点P也以相同的速度从点A出发向B匀速运动，设它们的运动时间为t秒（0≤t≤3），直线AB与抛物线的交点为N，设多边形PNCD的面积为S，试探究S是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由．
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