Question

我国是最早了解和应用勾股定理的国家之一，古代印度、希腊、阿拉伯等许多国家也都很重视对勾股定理的研究和应用，古希腊数学家毕达哥拉斯首先证明了勾股定理，在西方，勾股定理又称为“毕达哥拉斯定理”．
关于勾股定理的研究还有一个很重要的内容是勾股数组，在《几何》课本中我们已经了解到，“能够成为直角三角形三条边的三个正整数称为勾股数”，以下是毕达哥拉斯等学派研究出的确定勾股数组的两种方法：
方法1：若m为奇数（m≥3），则a=m，b=（m²-1）和c=（m²+1）是勾股数．
方法2：若任取两个正整数m和n（m＞n），则a=m²-n²，b=2mn，c=m²+n²是勾股数．
（1）在以上两种方法中任选一种，证明以a，b，c为边长的△ABC是直角三角形；
（2）请根据方法1和方法2按规律填写下列表格：

（3）某园林管理处要在一块绿地上植树，使之构成如下图所示的图案景观，该图案由四个全等的直角三角形组成，要求每个三角形顶点处都植一棵树，各边上相邻两棵树之间的距离均为1米，如果每个三角形最短边上都植6棵树，且每个三角形的各边长之比为5：12：13，那么这四个直角三角形的边长共需植树______棵．

Answer 1

解：（1）方法1、c-a=（m²+1）-m=（m²-2m+1）=（m-1）²＞0，c-b=1＞0，
所以c＞a，c＞b．而a²+b²=m²+[（m²-1）]²=（m⁴-2m²+1）+m²
=（m⁴+2m²+1）=[（m²+1）]²=c²，
所以以a、b、c为边的三角形是直角三角形．
同理可证方法2．

（2）方法1中自上而下：7、24、25；9、40、41．
方法2中自上而下：5、2、21、20、29；5、1、24、10、26．

（3）∵各边上相邻两棵树之间的距离均为1米，如果每个三角形最短边上都植6棵树，
∴三角形最短边为5米，
又∵各边长之比为5：12：13，
∴其他两边分别为12、13米．
∴每个三角形的边长可植树5+12+13=30棵，
∴四个直角三角形的边长共需植树120棵．
分析：（1）先比较三边的大小，确定为斜边的是c，再求a²+b²=[（m²+1）]²=c²；
（2）按规律，方法1该填7、9对应的值；方法2该填5、2；5、1对应的值；
（3）由各边上相邻两棵树之间的距离均为1米，如果每个三角形最短边上都植6棵树，可得三角形最短边为5米，又有各边长之比为5：12：13，可得其他两边分别为12、13米．则每个三角形的边长可植树5+12+13=30棵，四个直角三角形的边长共需植树120棵．
点评：此题的关键是让学生熟悉勾股数的定义，经常用的勾股数应该识记．