Question

⊙O₁与⊙O₂相交于A、B两点，如图（1），连接O₂O₁并延长交⊙O₁于P点，连接PA、PB并分别延长交⊙O₂于C、D两点，连接CO并延长交⊙O₂于E点．已知⊙O₂的半径为R，设∠CAD=α．
（1）求CD的长（用含R、α的式子表示）；
（2）试判断CD与PO₁的位置关系，并说明理由；
（3）设点P’为⊙O₁上（⊙O₂外）的动点，连接P’A、P’B并分别延长交⊙O₂于C’、D’，请你探究∠C’AD’是否等于α？C’D’与P’O₁的位置关系如何？并说明理由．
（注：图（2）与图（3）中⊙O₁和⊙O₂的大小及位置关系与图（1）完全相同，若你感到继续在图（1）中探究问题（3），图形太复杂，不便于观察，可以选择图（2）或图（3）中的一图说明理由）．

Answer 1

解：（1）连接DE．
根据圆周角定理的推论，得∠E=∠CAD=α．
∵CE是直径，
∴∠CDE=90°．
∴CD=CE•sinE=2Rsinα；

（2）CD与PO₁的位置关系是互相垂直．理由如下：
连接AB，延长PO₁与⊙O₁相交于点E，连接AE．
∵四边形BAC′D′是圆内接四边形，
∴∠ABP′=∠C′．
∵P′E是直径，
∴∠EAP′=90°，
∴∠AP′E+∠E=90°．
又∠ABP′=∠E，
∴∠AP′E+∠C′=90°，
即CD与PO₁的位置关系是互相垂直；

（3）根据同弧所对的圆周角相等，则说明∠C’AD’等于α；根据（2）中的证明过程，则可以证明C’D’与P’O₁的位置关系是互相垂直．
分析：（1）作⊙O₂的直径CE，连接DE．根据圆周角定理的推论，得∠E=∠CAD=α，再利用解直角三角形的知识求解；
（2）连接AB，延长PO₁与⊙O₁相交于点E，连接AE．根据圆内接四边形的性质，得∠ABP′=∠C′，根据圆周角定理的推论，得∠ABP′=∠E，∠EAP′=90°，从而证明∠AP′E+∠C′=90°，则CD与PO₁的位置关系是互相垂直；
（3）根据同弧所对的圆周角相等，则说明∠C’AD’等于α；根据（2）中的证明过程，则可以证明C’D’与P’O₁的位置关系是互相垂直．
点评：此题综合运用了圆周角定理及其推论、直角三角形的性质、圆内接四边形的性质．
注意：连接两圆的公共弦、构造直径所对的圆周角都是圆中常见的辅助线．