Question

【题目】如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．例如，一元二次方程的两个根是2和4，则方程x2﹣6x+8＝0就是“倍根方程”．

（1）若一元二次方程x2﹣3x+c＝0是“倍根方程”，求c的值；

（2）若（x﹣2）（mx﹣n）＝0（m≠0）是“倍根方程”，求代数式4m2﹣5mn+n2的值；

（3）若点（p，q）在反比例函数y＝的图象上，请说明关于x的方程px2+3x+q＝0是“倍根方程”；

（4）若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）是“倍根方程”，请说明2b2＝9ac．

Answer 1

【答案】（1）c的值为2；（2）0；（3）详见解析；（4）详见解析．

【解析】

（1）设出其中一个根，表示另一个根，根据根与系数的关系，求出方程的两个根，进而求出c的值，

（2）方程有一个根为2，由“倍根方程”的意义可知另一个根为1或4，当另一个根为1时代入方程可得m﹣n=0，当另一个根为4代入方程可得4m﹣n=0，而代数式4m2﹣5mn+n2可分解为（m﹣n）（4m﹣n），因此4m2﹣5mn+n2=（m﹣n）（4m﹣n）=0，

（3）点（p，q）在反比例函数y的图象上，可得pq=2，再根据求根公式求出方程的两个根为x1，x2，进而判断是“倍根方程”，

（4）设方程两根为x1，2x1，根据根与系数的关系得到：x1+2x1=，x12x1=，化简后可得结论．

（1）设一元二次方程x2﹣3x+c=0的一个根为x1，则另一个根为2x1，

由根与系数的关系得：x1+2x1=3，∴x1=1，即一个根为1，而另一个根为2，∴c=1×2=2，

答：c的值为2．

（2）方程（x﹣2）（mx﹣n）=0的一个根为2，则另一个根为1或4，

当另一个根为1时，则﹣1×（m﹣n）=0，∴m﹣n=0，

当另一个根为4时，则2×（4m﹣n）=0，∴4m﹣n=0，∴4m2﹣5mn+n2=（m﹣n）（4m﹣n）=0，

答：代数式4m2﹣5mn+n2的值为0．

（3）∵点（p，q）在反比例函数y的图象上，∴pq=2，

关于x的方程px2+3x+q=0的根为x，

即：x1，x2，∴x1=2x2，

因此是“倍根方程”．

（4）设方程两根为x1，2x1，根据根与系数的关系得到：x1+2x1=，x12x1=，∴x1=，，∴，∴2b2=9ac．