Question

【题目】如图，正方形ABCD中，AB＝3，点E为对角线AC上一点，EF⊥DE交AB于F，若四边形AFED的面积为4，则四边形AFED的周长为______．

Answer 1

【答案】4+2

【解析】

连接BE，DF，过E作EN⊥BF于点N，证明△DCE≌△BCE和△BEF为等腰三角形，设AF=x，用x表示DE与EF，由根据四边形ADEF的面积为4，列出x的方程求得x，进而求得四边形ADEF的周长．

解：如图，连接BE，DF，过E作EN⊥BF于点N，

∵四边形ABCD为正方形，
∴CB=CD，∠BCE=∠DCE=45°，
在△BEC和△DEC中，

，

∴△DCE≌△BCE（SAS），
∴DE=BE，∠CDE=∠CBE，
∴∠ADE=∠ABE，
∵∠DAB=90°，∠DEF=90°，
∴∠ADE+∠AFE=180°，
∵∠AFE+∠EFB=180°，
∴∠ADE=∠EFB，
∴∠ABE=∠EFB，
∴EF=BE，
∴DE=EF，
设AF=x，则BF=3-x，
∴FN=BN=BF=，

∴AN=AF+FN=，

∵∠BAC=∠DAC=45°，∠ANF=90°，
∴EN=AN=，

∴DE=EF=，

∵四边形AFED的面积为4，
∴S△ADF+S△DEF=4，

∴×3x+×，

解得，x=-7（舍去），或x=1，
∴AF=1，DE=EF=，

∴四边形AFED的周长为：3+1++=4+，

故答案为：4+.