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    已知：如图，直角坐标系内的矩形ABCD，顶点A的坐标为(0，3)BC＝2AB，P为AD边上一动点(与点A、D不重合)，以点P为圆心作⊙P与对角线AC相切于点F，过P、F作直线l，交BC边于点E．当点P运动到点P1位置时，直线l恰好经过点B此时直线的解析式是y＝2x＋1．

    (1)求BC、AP1的长；

    (2)设AP＝m，梯形PECD的面积为S，求S与m之间的函数关系式，写出自变量m的取值范围；

    (3)以点E为圆心作⊙E与x轴相切．

    ①探究并猜想：⊙P和⊙E有哪几种不同的位置关系？并求出AP相应的取值范围；

    ②当直线l把矩形ABCD分成两部分的面积之比为3∶5时，则⊙P和⊙E的位置关系如何？并请说明理由．

    答案：
    解析：

    　　(1)∵A(0，3)，∴OA＝3．∵直线l1的解析式是y＝2x＋1，∴B(0，1)，OB＝1，AB＝OA－OB＝2．∵BC＝2AB，∴BC＝4．∵点P是AD上一动点，且A(0，3)，∴P1点纵坐标是3．∵点P1在直线y＝2x＋l上，∴P1(1，3)，AP1＝1;

    　　(2)∵AP＝m，AD＝4，∴PD＝4－m，P1P＝m－1．∵⊙P与对角线AC相切于点F，∴∠AF1P1＝∠AFP＝，∴P1B∥PE，∵AD∥BC，∴BE＝P1P＝m－1，EC＝5m，∴S＝(PD＋EC)·CD＝(9－2m)×2＝9－2m，自变量m的取值范围为1≤m＜4;

    　　(3)①在Rt△ABP1中，∵AB＝2，AP1＝1，∴BP1＝，点P在AD上运动时，圆心距EP的长总等于，当⊙P和⊙E相切时，此时PF＝EP－EF＝－1，∵Rt△APF∽Rt△ACD，∴＝，∴AP＝5－，当1≤m＜5－时，两圆外离；当m＝5－时，两圆外切；当5－＜m＜4时，两圆相交．②∵矩形ABCD的面积是8，且直线l把矩形ABCD分成两部分的面积之比为3∶5，∴S四边形PECD＝5或S四边形PECD＝3．当S四边形PECD＝5时，9－2m＝5，m＝2，即AP＝2，∴1＜AP＜5－．∴此时两圆外离；当S四边形PECD＝3时，9－2m＝3，m＝3，即AP＝3，∴5－＜AP＜4．∴此时两圆相交．综上所述，当直线l把矩形ABCD分成两部分的面积之比为3∶5时，则⊙P和⊙E的位置关系是外离或相交．


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    （1）求在运动过程中形成的△OPQ的面积S与运动的时间t之间的函数关系，并写出自变量t的取值范围；
    （2）在等边△OAB的边上（点A除外）存在点D，使得△OCD为等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点D的坐标；
    （3）如图（2），现有∠MCN=60°，其两边分别与OB、AB交于点M、N，连接MN．将∠MCN绕着C点旋转（0°＜旋转角＜60°），使得M、N始终在边OB和边AB上．试判断在这一过程中，△BMN的周长是否发生变化？若没有变化，请求出其周长；若发生变化，请说明理由．
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    （2）在等边△OAB的边上（点A除外）存在点D，使得△OCD为等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点D的坐标；
    （3）如图（2），现有∠MCN=60°，其两边分别与OB、AB交于点M、N，连接MN．将∠MCN绕着C点旋转（0°＜旋转角＜60°），使得M、N始终在边OB和边AB上．试判断在这一过程中，△BMN的周长是否发生变化？若没有变化，请求出其周长；若发生变化，请说明理由．

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