Question

已知：在菱形ABCD中，O是对角线BD上的一动点．
（1）如图甲，P为线段BC上一点，连接PO并延长交AD于点Q，当O是BD的中点时，求证：OP=OQ；
（2）如图乙，连接AO并延长，与DC交于点R，与BC的延长线交于点S．若AD=4，∠DCB=60°，BS=10，求AS和OR的长．

Answer 1

（1）证明：∵四边形ABCD为菱形，
∴AD∥BC．
∴∠OBP=∠ODQ
∵O是BD的中点，
∴OB=OD
在△BOP和△DOQ中，
∵∠OBP=∠ODQ，OB=OD，∠BOP=∠DOQ
∴△BOP≌△DOQ（ASA）
∴OP=OQ．

（2）解：如图，过A作AT⊥BC，与CB的延长线交于T．
∵ABCD是菱形，∠DCB=60°
∴AB=AD=4，∠ABT=60°
∴在Rt△ATB中，AT=ABsin60°=
TB=ABcos60°=2
∵BS=10，
∴TS=TB+BS=12，
在Rt△ATS中，
∴AS=．
∵AD∥BS，
∴△AOD∽△SOB．
∴，
则，
∴
∵AS=，
∴OS=AS=．
同理可得△ARD∽△SRC．
∴，
则，
∴，
∴．
∴OR=OS-RS=．
分析：（1）求简单的线段相等，可证线段所在的三角形全等，即证△ODQ≌△OBP．
（2）首先求AS的长，要通过构建直角三角形求解；过A作BC的垂线，设垂足为T，在Rt△ABT中，易证得∠ABT=∠DCB=60°，又已知了斜边AB的长，通过解直角三角形可求出AT、BT的长；进而可在Rt△ATS中，由勾股定理求出斜边AS的值；由于四边形ABCD是菱形，则AD∥BC，易证得△ADO∽△SBO，已知了AD、BS的长，根据相似三角形的对应边成比例线段可得出OA、OS的比例关系式，即可求出OA、OS的长；同理，可通过相似三角形△ADR和△SCR求得AR、RS的值；由OR=OS-RS即可求出OR的长．
点评：此题考查了菱形的性质、全等三角形及相似三角形的判定和性质；（2）中能够正确的构建出直角三角形，求出AS的长是解答此题的关键．