Question

已知一元二次方程x²-(2k+1)x+k²+k=0 .

(1)求证：方程有两个不相等的实数根；

(2)若△ABC的两边AB、AC的长是这个方程的两个实数根，第三边BC的长为5.   当△ABC是等腰三角形时，求k的值.

Answer 1

解：（1）证明：∵一元二次方程为x²-(2k+1)x+k²+k=0,

△     =[-(2k+1)]²-4 (k²+k)=1>0, ∴此方程有两个不相等的实数根。

(2) ∵△ABC的两边AB、AC的长是这个方程的两个实数根，由（1）知，AB≠AC，△ABC第三边BC的长为5，且△ABC是等腰三角形，

∴必然有AB=5或AC=5，即x=5是原方程的一个解。

将x=5代入方程x²-(2k+1)x+k²+k=0，

25-5(2k+1) +k² +k=0，解得k=4或k=5.

当k=4时，原方程为x² -9x +20 = 0 ，x₁=5, x₂= 4, 以5，5，4为边长能构成等腰三角形；

当k=5时，原方程为x² -11x +30 = 0 ，x₁=5, x₂=6, 以5，5，6为边长能构成等腰三角形；（必须检验方程的另一个解大于0小于10且不等于5）

∴k的值为4或5。