Question

如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD=DC=2，∠C=60°，AE⊥BD于点E，F是CD的中点，连接EF．
（1）求证：四边形AEFD是平行四边形；
（2）若点G是BC边上的一个动点，当点G在什么位置时，四边形DEFG是矩形？并求出这个矩形的周长；
（3）在BC上能否找到另外一点G′，使四边形DE G′F的周长与（2）中矩形DEFG的周长相等，请简述你的理由．

Answer 1

分析：（1）由已知可得四边形ABCD为等腰梯形，△ABD为等腰三角形，∠C=60°，可知∠BAD=∠ADC=120°，又AE⊥BD，故∠EAD=

1

2

∠BAD=60°，BE=DE，在Rt△ADE中，∠ADE=30°，故∠BDC=∠ADC-∠ADE=90°，可证AE∥DF，而E、F两点为BD、CD边的中点，可证EF∥BC∥AD，故四边形AEFD是平行四边形；
（2）延长AE交BC于G，可证G点为BC的中点，此时四边形DEGF是矩形，解Rt△DEF，可求DE，DF，根据矩形的性质求周长；
（3）当CG′=CF=1时，△G′EF与△DEF关于直线EF轴对称，可满足题意．

解答：（1）证明：∵梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD=DC=2，
∴四边形ABCD为等腰梯形，∠C=60°，
∴∠BAD=∠ADC=120°，
又∵△ABD为等腰三角形，AE⊥BD，
∴∠EAD=

1

2

∠BAD=60°，BE=DE，
在Rt△ADE中，∠ADE=90°-∠EAD=30°，
∴∠BDC=∠ADC-∠ADE=90°，
∴AE∥DF，
∵E、F两点为BD、CD边的中点，
∴EF∥BC∥AD，
∴四边形AEFD是平行四边形；

（2）解：延长AE交BC于G，连接FG，
∵BE=ED，AE∥CD，∴AD=BG=GC，
∴G点为BC的中点，
∴FG∥DE，
而∠EDF=90°，
∴四边形DEGF是矩形，
在Rt△DEF中，DE=

3

，DF=1，
∴矩形的周长=2+2

3

；

（3）解：可以．
当CG′=CF=1时，△G′EF与△DEF关于直线EF轴对称，
DF=FG′，DE=EG′，
则四边形DEG′F的周长=2+2

3

；
周长不变．

点评：本题考查了等腰梯形的性质，三角形中位线定理，直角三角形的性质，平行四边形，矩形的判断．关键是根据题意，推出特殊三角形．