Question

（2002•上海模拟）两圆外切，它们的外公切线互相垂直，如果大圆的半径为R，小圆的半径为r，那么

r

R

=

3-2

2

．

Answer 1

分析：首先根据题意作出图形，然后连接O₁A，O₂D，O₁C，过点D作DF∥O₁O₂，易证得四边形O₁O₂DF是平行四边形，即可求得AF=R-r，DF=R+r，由切线的性质可得∠ACO₁=45°，易得△ADF是等腰直角三角形，即可得DF=

2

AF，继而求得

r

R

的值．

解答：解：如图，⊙O₁与⊙O₂外切，AD，BE分别是外公切线，且AD⊥BE于点C，
连接O₁A，O₂D，O₁C，过点D作DF∥O₁O₂，
∴O₁A⊥AD，O₂D⊥AD，
∴O₁A∥O₂D，
∴四边形O₁O₂DF是平行四边形，
∴DF=0₁0₂=R+r，O₁F=O₂D=r，
∴AF=O₁A-O₁F=R-r，
∵AC⊥BC，
∴∠ACO₁=45°，
∴∠ADF=∠ACO₁=45°，
∴∠AFD=∠ADF=45°，即△AFD为等腰直角三角形，
∴DF=

2

AF，
∴R+r=

2

（R-r），
∴R=（3+2

2

）r，
∴

r

R

=

1

3+2 2

=3-2

2

．
故答案为：3-2

2

．

点评：此题考查了相切两圆的性质、平行四边形的判定与性质以及等腰直角三角形的性质．此题难度较大，解题的关键是根据题意作出图形，掌握数形结合思想的应用．