Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，直线分别交轴、轴于点，交直线于点．动点在直线上以每秒个单位的速度从点向终点运动，同时，动点以每秒个单位的速度从点沿的方向运动，当点到达终点时，点同时停止运动．设运动时间为秒．

（1）求点的坐标和的长．

（2）当时，线段交于点且求的值．

（3）在点的整个运动过程中，

①直接用含的代数式表示点的坐标．

②利用（2）的结论，以为直角顶点作等腰直角（点按逆时针顺序排列）．当与的一边平行时，求所有满足条件的的值．

Answer 1

【答案】（1）（20，0），；（2）2；（3）①（，）（），②，或

【解析】

（1）联立两直线解析式，所求得的解即为交点横纵坐标，再根据两点间距离公式求点之间的距离；

（2）过点C作CF⊥OA于F，利用平行线分线段成比例，求出C点坐标，用含有a的表达式表示出D，根据可知点P为CD中点，利用中点坐标公式表示出点P坐标代入，即可求得参数a的值；

（3）分三种情况讨论与的一边平行情况，用含有t的字母表示各点坐标，根据平行线斜率相等，垂直斜率之积为﹣1建立等量关系，求解t的值．

解：（1）∵直线AB为，

∴点A（20，0），B（0，15），

∵点M为直线AB：与直线OM：的交点，

∴联立，

解得点M坐标为：（12，6），

∴，

故答案为：A（20，0），；

（2）过点C作CF⊥OA于F，

由（1）知OA=20，OB=15，

∴

当时，，，

∵BO⊥AO，CF⊥OA，

∴，，

∴，，

∴，点C的纵坐标为：，

∴点C（8，9）， 点D（5a，0），

∵

∴点P为CD的中点，

∴点P（，），

∵点P在直线：上，

将点P（，3）代入，

∴得；

（3）①，

由（2）图知，，，

∴，，

∴，

∴点C（，）（），

②依题意知，，

∴点D（2t，0），点C（，）

如图，当OM平行CE时，由∠ECD=90°可知CD⊥CE，

根据互相垂直两直线斜率之积为—1，

可得：，

解得：；

如图，当OM∥CD时，两直线斜率相等，

则，

解得：；

如图，DE∥OM，过点C作CP⊥x轴于P，作CQ平行x轴，过点E作EG⊥x轴于G交CQ于Q，

∵△DCE为等腰直角三角形，

∴易证△DPC≌△EQC，

∴，，

∴点E的坐标为：（，），

由两平行直线，斜率相等得，，

解得：，

综上所述，满足的条件的t的值为：，或．