Question

已知：如图，BD、CE是△ABC的高，DG⊥BC与CE交于F，GD的延长线与BA的延长线交于点H．
求证：GD²=GF•GH．

Answer 1

分析：先证△CGD∽△DGB，推出DG²=BG•CG，再证△CGF∽△HGB得到比例式，推出GF•GH=BG•GC，即可求出答案．

解答：证明：∵BD⊥AC，DG⊥BC，
∴∠DGC=∠DGB=90°，∠CDB=90°，
∴∠DCG+∠CDG=90°，∠CDG+∠BDG=90°，
∴∠DCG=∠BDG，
∵∠DGC=∠DGB，
∴△CGD∽△DGB，
∴

DG

BG

=

CG

DG

，
∴DG²=BG•CG，
∵CE⊥AB，
∴∠ECB+∠CBE=90°，
又∠H+∠GBH=90°，
∴∠ECB=∠H，
∠FGC=∠HGB=90°，
∴△CGF∽△HGB，
∴

GF

GB

=

GC

GH

，
∴GF•GH=BG•GC，
∴GD²=GF•GH．

点评：本题主要考查对相似三角形的性质和判定，三角形的内角和定理等知识点的理解和掌握，能求出DG²=BG•CG和GF•GH=BG•GC是解此题的关键．