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     (本题8分)已知正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EF⊥BD交BC于F，连接DF，G为DF中点，连接EG，CG．

     

    1.（1）求证：EG=CG；

    2.（2）将图①中△BEF绕B点逆时针旋转45º，如图②所示，取DF中点G，连接EG，CG．

    3.（3）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．     

    （3）将图①中△BEF绕B点旋转任意角度，如图③所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论？（本小问均不要求证明）

     

    【答案】

     

    1.（1）证明：在Rt△FCD中，

    ∵G为DF的中点，∴ CG=FD．同理，在Rt△DEF中，   

    EG=FD．   ………………1分

    ∴ CG=EG．…………………2分

    2.（2）（1）中结论仍然成立，即EG=CG．…………………………3分

    连接AG，过G点作MN⊥AD于M，与EF的延长线交于N点．

    在△DAG与△DCG中，

    ∵ AD=CD，∠ADG=∠CDG，DG=DG，

    ∴ △DAG≌△DCG．

    ∴ AG=CG．………………………4分

    在△DMG与△FNG中，

    ∵ ∠DGM=∠FGN，FG=DG，∠MDG=∠NFG，

    ∴ △DMG≌△FNG．

    ∴ MG=NG

      在矩形AENM中，AM=EN． ……………5分

    在Rt△AMG 与Rt△ENG中，

    ∵ AM=EN， MG=NG，

    ∴ △AMG≌△ENG．

    ∴ AG=EG．

    ∴ EG=CG． 

    3.（1）中的结论仍然成立，即EG=CG．……7分

    其他的结论还有:EG⊥CG．

    【解析】略

     

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    （本题满分11分）如图1，已知矩形ABCD的顶点A与点O重合，AD、AB分别在x轴、y轴上，且AD=2，AB=3；抛物线经过坐标原点O和x轴上另一点E（4,0）
    （1）当x取何值时，该抛物线的最大值是多少？
    （2）将矩形ABCD以每秒1个单位长度的速度从图1所示的位置沿x轴的正方向匀速平行移动，同时一动点P也以相同的速度从点A出发向B匀速移动.设它们运动的时间为t秒（0≤t≤3），直线AB与该抛物线的交点为N（如图2所示）.
    ① 当时，判断点P是否在直线ME上，并说明理由；
    ② 以P、N、C、D为顶点的多边形面积是否可能为5，若有可能，求出此时N点的坐标；若无可能，请说明理由．

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