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    在Rt△ABO中，∠ABO=30°，BO=4，分别以OA、OB边所在的直线建立平面直角坐标系，D为x轴正半轴上一点，以OD为一边在第一象限内作等边△ODE.

    （Ⅰ）如图①， 当E点恰好落在线段AB上，求点E的坐标；

        

    （Ⅱ）在（Ⅰ）问的条件下，将△ODE在线段OB上向右平移（如图②），图中是否存在一条与线段始终相等的线段？如果存在，请指出这条线段，并加以证明；如果不存在，请说明理由.

    （Ⅲ）若点D从原点出发沿x轴的正方向移动，设点D到原点的距离为x，△ODE与△AOB重叠部分面积为y，请直接写出y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围.

     

    【答案】

    (Ⅰ) E（1，）.      

    (Ⅱ) 将△ODE在线段OB上向右平移时，始终有线段EF=.  

    由(Ⅰ)知=2，得+ BD=2，

         ∵∠=60°=2∠B=∠B+∠BFD，∴∠BFD=∠B，∴DF = BD.

           又∵DF+ EF=2，∴EF=.  

    (Ⅲ)①如图a，当0≤x≤2时，y==

    ②如图b，当2＜x＜4时，y=－=+2－2.

    ③如图c，当x≥4时，y==2.  

     

    【解析】（1）由题意作辅助线，作EH⊥OB于点H，由BO=4，求得OE，然后求出OH，EH，从而得出点E的坐标；

    （2）假设存在，由OO′=4-2-DB，而DF=DB，从而得到OO′=EF；

    （3）根据题意分三种情况写出解析式即可．

     

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