Question

如图，已知四边形ABCD是矩形，且MO=MD=4，MC=3．
（1）求直线BM的解析式；
（2）求过A、M、B三点的抛物线的解析式；
（3）在（2）中的抛物线上是否存在点P，使△PMB构成以BM为直角边的直角三角形？若没有，请说明理由；若有，则求出一个符合条件的P点的坐标．

Answer 1

解：（1）∵MO=MD=4，MC=3，
∴M、A、B的坐标分别为（0，4），（-4，0），（3，0）
设BM的解析式为y=kx+b；
则，
∴BM的解析式为y=-x+4．

（2）方法一：
设抛物线的解析式为y=ax²+bx+c
则，
解得a=b=-，c=4
∴y=-x²-x+4
方法二：
设抛物线的解析式为y=a（x+4）（x-3）
将M（0，4）的坐标代入得a=-
∴y=-（x+4）（x-3）=-x²-x+4

（3）设抛物线上存在点P，使△PMB构成直角三角形．
①过M作MB的垂线与抛物线交于P，过P作PH⊥DC交于H，
∴∠PMB=90°，
∴∠PMH=∠MBC，
∴△MPH∽△BMC，
∴PH：HM=CM：CB=3：4
设HM=4a（a＞0），则PH=3a
∴P点的坐标为（-4a，4-3a）
将P点的坐标代入y=-x²-x+4得：
4-3a=-（-4a）²-×（-4a）+4
解得a=0（舍出），，
∴P点的坐标为（）
②或者，抛物线上存在点P，使△PMB构成直角三角形．
过M作MB的垂线与抛物线交于P，设P的坐标为（x₀，y₀），
由∠PMB=90°，∠PMD=∠MBC，
过P作PH⊥DC交于H，则MH=-x₀，PH=4-y₀
∴由tan∠PMD=tan∠MBC
得，
∴
∴，x₀=0（舍出）
∴，
∴P点的坐标为（）
类似的，如果过B作BM的垂线与抛物线交于点P，
设P的坐标为（x₀，y₀），
同样可求得，
由=，x₀=3（舍出）
这时P的坐标为（）．
分析：（1）（2）根据MO=MD=4，MC=3就可以求出A、M、B三点的作坐标，根据待定系数法就可以求出直线BM的解析式与抛物线的解析式．
（3）过M、B作MB的垂线，它与抛物线的交点即为P点，因而符合条件的P点是存在的．当∠PMB=90°时，过P作PH⊥DC交于H，则
易证△MPH∽△BMC，得到PH：HM=CM：CB=3：4，因而可以设HM=4a（a＞0），则PH=3a，则P点的坐标为（-4a，4-3a）．
将P点的坐标代入y=-x²-x+4就可以求出a的值，进而求出P点的坐标．
点评：本题主要考查了待定系数法求函数解析式．是函数与相似三角形相结合的综合题．