【题目】如图，在矩形
中，
，点
在直线
上，
与直线相交所得的锐角为
，点
在直线上，
，垂足为点
，与点重合，
，以
为直径，在的右侧作半圆
，点
是半圆上任意一点．
（1）发现：连接
，则线段的最大值为____________；
（2）矩形保持不动，半圆沿直线向右平移，设平移距离为
．思考：点E落在边上时，求半圆与矩形重合部分的面积
；
（3）探究：在平移过程中，当半圆与矩形的边相切时，直接写出的值（参考数据：
结果保留根号）
【答案】（1）10；（2）
；（3）
或
或
【解析】
（1）当点M与点E重合时，AM有最大值，利用勾股定理即可求解；
（2）连结OG，过点O作OH⊥EG，依据垂径定理可知GE=2HE，然后在△EOH中，依据特殊锐角三角函数值可求得HE的长，从而得到EG的长，接下来求得∠EOG得度数，依据扇形的面积公式即可得到结论；
（3）如图3所示，连结OH，OA．先证明AO为∠DAF的角平分线，则∠OAF=30°，利用特殊锐角三角函数值可求得AF的长，从而可求得x的值；如图4所示：连结OH，OA，如图5所示：延长CB交FA与G，连结OH，OG，同理可求得
的值．
（1）由题意可知EF=6，AF=8，EF⊥
，
当点M与点E重合时，AM有最大值，最大值=
；
（2）如图2所示：连结OG，过点O作OH⊥EG于H．
∵∠DAF=60°，EF⊥AF，
∴∠AEF=30°．
∵OE=OG=
EF=3，
∴∠AEF=∠OGE=30°，
∴∠GOE=120°．
∴GE=2EH=2OE
=6
=3
，OH=OE=
，
∴S重合部分=S扇形GOE-S△GOE=
；
（3）如图3所示，AD为圆O的切线，H为切点，连结OH，OA．
则OH⊥AD．
又∵OF⊥AF，OH=OF，∠DAF=60°，
∴AO为∠DAF的角平分线，
∴∠OAF=∠DAF =30°．
∴AF=OF=3．
∴
；
如图4所示：AB为圆O的切线，H为切点，连结OH，OA．
∵AH、AF均为圆O的切线，∠DAF=60°，
∴OA为∠HAF的角平分线，
∴∠OAF=
=75°，
∴
，即AF
．
∴
；
如图5所示：BC为圆O的切线，H为切点，延长CB交直线于G，连结OH，OG．
∵BC、FG为圆O的切线，
∴OG平分∠HGF，
∵四边形ABCD为矩形，
∴AD∥BC，
∴∠HGF =∠DAP=60°．
∴∠OGF=∠HGF =30°．
∵
，
，
∴AG=
，FG=
3，
∴AF= AG- FG=．
∴
；
综上所述，当的值为或或时，半圆O与矩形ABCD的边相切．
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【题目】小明家所在居民楼的对面有一座大厦AB，高为74米，为测量居民楼与大厦之间的距离，小明从自己家的窗户C处测得大厦顶部A的仰角为37°，大厦底部B的俯角为48°．
（1）求∠ACB的度数；
（2）求小明家所在居民楼与大厦之间的距离．（参考数据：sin37°≈
，cos37°≈
，tan37°≈
，sin48°≈
，cos48°≈
，tan48°≈
）
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【题目】某商场销售一种名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽量减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件，
（1）若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？
（2）当每件衬衫降价多少元时，商场每天获利最大，每天获利最大是多少元？
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【题目】如图，在平面直角坐标系
中，直线
与
轴交于点
，与
轴交于点
，且与反比例函数
在第一象限内的图象交于点
，作
轴于点
，
．
（1）求直线的函数解析式；
（2）设点
是轴上的点，若
的面积等于6，直接写出点的坐标；
（3）设
点是轴上的点，且
为等腰三角形，求点的坐标．
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【题目】在平面直角坐标系中，点
，直线
与双曲线
交于点
，与
轴交于点
．探究：由双曲线与线段
围成的区域
内（不含边界）整点的个数（点的横、纵坐标都是整数的点称为整点）．①当
时，如图，区域内的整点的个数为_____；②若区域
内恰有4个整点，结合函数图象，则
的取值范围是_______
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【题目】如图，已知一次函数
与反比例函数
的图象相交于点
与点
．
（1）求反比例函数的表达式及点坐标．
（2）根据图象回答，在什么范围时，一次函数的值大于反比例函数的值．
（3）求三角形
的面积．
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【题目】如图，双曲线
与直线
相交于
，点P是x轴上一动点．
（1）求双曲线与直线的解析式；
（2）当
时，直接写出x的取值范围；
（3）当
是等腰三角形时，求点P的坐标．
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【题目】如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，以点B为圆心，适当长为半径的画弧，分别交BA，BC于点M、N；再分别以点M、N为圆心，大于
MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线BP交AC于点D，则下列说法中不正确的是（）
A. BP是∠ABC的平分线B. AD=BDC. 
D. CD=BD
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【题目】为了推动阳光体育运动的广泛开展，引导学生走向操场、走进大自然、走到阳光下，积极参加体育锻炼，学校准备购买一批运动鞋供学生借用．现从各年级随机抽取了部分学生的鞋号，绘制出如下的统计图①和图②，请根据相关信息,解答下列问题：
（Ⅰ）本次接受随机抽样调查的学生人数为________，图①中
的值为________；
（Ⅱ）求本次调查获取的样本数据的众数和中位数；
（Ⅲ）根据样本数据，若学校计划购买150双运动鞋,建议购买35号运动鞋多少双？
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