Question

如图，以BC为直径的圆0交∆CFB的边CF于点A，BM平分∠ABC交AC于点M,AD⊥BC于点D，AD交BM于点N,ME⊥BC于点E，AB² =AF．AC.

1.求△ANM≅△ENM;

2.求证：FB是圆O的切线

3.证明四边形AMEN是菱形．

 

Answer 1

【答案】

 

1.证明：因为BC是圆0的直径，

所以：∠BAC=90⁰                                    （1分）

又EM⊥BC，BM平分∠ABC，

所以：AM=ME. ∠AMN=∠EMN

又MN=MN

所以：∆ANM≅∆ENM

2.因为：AB²=AF∙AC,

又∠ABF=∠C

所以：∆ABF~∆ACB                                                 (4分)

所以：∠ABF=∠C

又∠FBC=∠ABC+∠FBA= 90⁰，

．’．FB是圆O的切线

3.解：由(1)得AN=EN,AM=EM, ∠AMN=∠EMN

又：AN//ME

所以：∠ANM=∠EMN                                              (7分)

所以：∠AMN=∠ANM                                        (8分)

所以：AN=AM

AM=ME+EN=AN

所以：四边形AMEN是菱形                                    （10分）

【解析】（1）利用角平分线的性质定理，可以得出AM=ME，∠AMN=∠EMN，再利用SAS可证出：△ANM≌△ENM

（2）利用相似三角形的判定可证出△ABF∽△ACB，从而得出∠ABF=∠C，那么可以得到∠CBF=90°

（3）利用（1）中的结论先证出∠AMN=∠ANM，可以得到AM=ME=EN=AN，从而得出四边形AMEN是菱形，再求出△BND∽△BME，利用比例线段可求出ME的长，再利用菱形的面积公式可计算出菱形的面积．