Question

如图，已知一次函数y=kx+b的图象经过A（-2，-1），B（1，3）两点，并且交x轴于点C，交y轴于点D．
（1）求该一次函数的解析式；
（2）求tan∠OCD的值；
（3）求证：∠AOB=135°．

Answer 1

分析：（1）把A（-2，-1），B（1，3）两点坐标分别代入一次函数y=kx+b，即可求出k，b的值，从而求出其解析式；
（2）由于C（-

5

4

，0），D（0，

5

3

）．故Rt△OCD中，OD=

5

3

，OC=

5

4

，所以tan∠OCD=

OD

OC

=

4

3

；
（3）取点A关于原点的对称点E（2，1），则问题转化为求证∠BOE=45度，
由于OE=

5

，BE=

5

，OB=

10

，即OB²=OE²+BE²，故△EOB是等腰直角三角形，所以∠BOE=45度．∠AOB=135度．

解答：（1）解：由

-1=-2k+b 3=k+b

，解得

k= 4 3 b= 5 3

，
所以y=

4

3

x+

5

3

；（4分）

（2）解：C（-

5

4

，0），D（0，

5

3

）．
在Rt△OCD中，OD=

5

3

，OC=

5

4

，
∴tan∠OCD=

OD

OC

=

4

3

；（8分）

（3）证明：取点A关于原点的对称点E（2，1），
则问题转化为求证∠BOE=45度．
由勾股定理可得，OE=

5

，BE=

(3-1)2+(2-1)2

=

5

，OB=

10

，
∵OB²=OE²+BE²，
∴△EOB是等腰直角三角形．
∴∠BOE=45度．
∴∠AOB=135度．（12分）

点评：此题较复杂，解答此题的关键是延长AO，过B作BE⊥AE于E，构造出直角三角形，利用勾股定理即锐角三角函数的定义求解．