【题目】将抛物线
向左平移2个单位，再向上平移4个单位得到一个新的抛物线．
（1）求新的抛物线的解析式．
（2）过
作直线
，使得直线与新的抛物线仅有一个公共点，求直线的解析式及相应公共点的坐标．
（3）请猜想在新的抛物线上是否有且仅有四个点
、
、
、
使得、、、分别与（2）中的所有公共点所围成的图形的面积均为S？若有，请求出S并直接写出、、、的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
；（2）l的解析式为：y=x+2；y=3x-6，x=2；直线y=-x+2与抛物线有唯一公共点A（-2,4）直线y=3x-6与抛物线有唯一公共点B（6,12）直线x=2 与抛物线有唯一公共点C(2，4) ；（3）S=18,P1为（0,3），P2为（4,7），P3为（
,
），P4为（
,
）.
【解析】
（1）根据二次函数平移的特点即可求解；
（2）设直线l的解析式为：y=kx+b,把M代入，再与二次函数联立，根据一元二次方程根的判别式即可求解；
（3）由AB、BC、AC将抛物线分为三个部分，对于任意S在AB上方的抛物线上必存在两个P点，①当P在AC下方的抛物线上时，求出此时
=2，,②当P在BC下方的抛物线上时，设P为
，D为（t，2t），得到
，利用
求出S的最大值也为2，故当P点在直线AB上方时，与A,C围成的面积也为2，故可得到P到AC的距离为1，根据直线AB的解析式特点可知将
直线AB向上平移
个单位即可满足要求，得到平移后的解析式，再联立抛物线即可出P3,P4的坐标.
解：（1）∵
∴把函数向左平移2个单位，向上平移4个单位后抛物线的顶点为（0,3），
∴新的抛物线的解析式为，
（2）解： 设直线l的解析式为：y=kx+b,将M（2,0）代入得
∴
∴直线l为
又直线
与新的抛物线仅有一个公共点，
∴
只有一个解，
化简得
∴
解得：
，
当时，直线l为
由
解得
∴A（-2，4）
当
时，直线l为
由
解得
∴B（6，12）
过点M（2,0）作直线l⊥x轴，交抛物线于C点，则直线l为x=2,
公共点C为（2,4），
综上所述：直线y=-x+2与抛物线有唯一公共点A（-2,4）
直线y=3x-6与抛物线有唯一公共点B（6,12）
直线x=2 与抛物线有唯一公共点C(2，4)
（3）在新的抛物线上有且仅有四个点P1、P2、P3、P4使其分别与（2）中的所有公共点A、B、C所围成的四边形面积均为S.
∵AB、BC、AC将抛物线分为三个部分，对于任意S在AB上方的抛物线上必存在两个P点.
①当P在AC下方的抛物线上时
∵AC∥x轴，
∴当P为（0,3），
②当P在BC下方的抛物线上时
设P为由待定系数法得BC:y=2x
作PD//y轴交BC于D，则D为（t，2t）
∴
∴
∵它是一个开口向下，顶点为（4，2）的抛物线
∴当P为（4，7）时，
∴
∴
此时 
∵A（-2,4），B（6,12）
∴求得AB解析式为
，
∵A、B两点的横坐标之差的绝对值为8，A、C两点的横坐标之差的绝对值为4，P到AC的距离为1.
∴将直线AB向上平移个单位得
l交抛物线于
和
两点
由
，解得
，
综上，S=18,P1为（0,3），P2为（4,7），P3为（,），P4为（,）.
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【题目】如图，在直角坐标系中，点
，点
，过点
的直线
垂直于线段
，点
是直线上在第一象限内的一动点，过点作
轴，垂足为
，把
沿
翻折
，使点落在点
处，若以，，为顶点的三角形与△ABP相似，则满足此条件的点的坐标为__________．
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【题目】探究问题：
⑴方法感悟：
如图①，在正方形ABCD中，点E，F分别为DC，BC边上的点，且满足∠EAF=45°，连接EF，求证DE+BF=EF．
感悟解题方法，并完成下列填空：
将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABG，此时AB与AD重合，由旋转可得：
AB=AD,BG=DE, ∠1=∠2，∠ABG=∠D=90°,
∴∠ABG+∠ABF=90°+90°=180°，
因此，点G，B，F在同一条直线上．
∵∠EAF=45°
∴∠2+∠3=∠BAD-∠EAF=90°-45°=45°．
∵∠1=∠2，
∴∠1+∠3=45°．
即∠GAF=∠_________．
又AG=AE，AF=AF
∴△GAF≌_______．
∴_________=EF，故DE+BF=EF．
⑵方法迁移：
如图②，将
沿斜边翻折得到△ADC，点E，F分别为DC，BC边上的点，且∠EAF=
∠DAB．试猜想DE，BF，EF之间有何数量关系，并证明你的猜想．
⑶问题拓展：
如图③，在四边形ABCD中，AB=AD，E，F分别为DC,BC上的点，满足
,试猜想当∠B与∠D满足什么关系时，可使得DE+BF=EF．请直接写出你的猜想（不必说明理由）
．
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【题目】临近端午，某超市准备购进某品牌的白粽、豆沙粽、蛋黄粽，三种品种的粽子共1000袋（每袋均为同一品种的粽子），其中白粽每袋12个，豆沙粽每袋8个，蛋黄粽每袋6个．为了推广，超市还计划将三个品种的粽子各取
出来，拆开后重新组合包装，制成A、B两种套装进行特价销售：A套装为每袋白粽4个，豆沙粽4个；B套装为每袋白粽4个，蛋黄粽2个，取出的袋数和套装的袋数均为正整数．若蛋黄粽的进货量不低于总进货量的
，则豆沙粽最多购进__袋．
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【题目】“三等分角”是数学史上一个著名的问题，但仅用尺规不可能“三等分角”．下面是数学家帕普斯借助函数给出的一种“三等分锐角”的方法（如图）：将给定的锐角∠AOB置于直角坐标系中，边OB在x轴上、边OA与函数
的图象交于点P，以P为圆心、以2OP为半径作弧交图象于点R．分别过点P和R作x轴和y轴的平行线，两直线相交于点M，连接OM得到∠MOB，则∠MOB=
∠AOB．要明白帕普斯的方法，请研究以下问题：
（1）设P（
，
）、R（
，
），求直线OM对应的函数表达式（用含，的代数式表示）；
（2）分别过点P和R作y轴和x轴的平行线，两直线相交于点Q．请说明Q点在直线OM上，并据此证明∠MOB=∠AOB；
（3）应用上述方法得到的结论，你如何三等分一个钝角（用文字简要说明）
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【题目】“五一劳动节大酬宾！”，某商场设计的促销活动如下：在一个不透明的箱子里放有4个相同的小球，球上分别标有“0元”、“10元”、“20元”和“50元”的字样．规定：在本商场同一日内，顾客每消费满300元，就可以在箱子里先后摸出两个球（第一次摸出后不放回）．商场根据两小球所标金额的和返还相等价格的购物券，购物券可以在本商场消费．某顾客刚好消费300元．
（1）该顾客至多可得到________元购物券；
（2）请你用画树状图或列表的方法，求出该顾客所获得购物券的金额不低于50元的概率．
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【题目】如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的10×10网格中，已知点O，A，B均为网格线的交点.
（1）在给定的网格中，以点O为位似中心，将线段AB放大为原来的2倍，得到线段
（点A，B的对应点分别为
）.画出线段;
（2）将线段绕点
逆时针旋转90°得到线段
.画出线段;
（3）以
为顶点的四边形
的面积是 个平方单位.
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【题目】如图,在平行四边形ABCD和平行四边形BEFG中,AB=AD,BG=BE,点A、 B、 E在同一直线上,P是线段DF的中点,连接PG、PC，若∠ABC=∠BEF=60°,则
=( )
A.
B.
C.
D.
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