Question

【题目】在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝α（0°＜α＜180°）．点P是平面内不与A，C重合的任意一点，连接AP，将线段AP绕点P逆时针旋转α得到线段DP，连接AD，CP．点M是AB的中点，点N是AD的中点．

（1）问题发现：如图1，当α＝60°时，的值是　 　，直线MN与直线PC相交所成的较小角的度数是　 　．

（2）类比探究：如图2，当α＝120°时，请写出的值及直线MN与直线PC相交所成的较小角的度数，并就图2的情形说明理由．

（3）解决问题：如图3，当α＝90°时，若点E是CB的中点，点P在直线ME上，请直接写出点B，P，D在同一条直线上时的值．

Answer 1

【答案】（1），60°；（2），30°，见解析；（3）当点P在线段BD上时， ，当点P在DB延长线上时,＝2+．

【解析】

（1）如图1中，连接PC，BD，延长BD交PC于K，交AC于G．证明△PAC≌△DAB（SAS），利用全等三角形的性质以及三角形的中位线定理即可解决问题．

（2）如图设MN交AC于F，延长MN交PC于E．证明△ACP∽△AMN，推出∠ACP＝∠AMN，可得结论．

（3）分两种情形分别画出图形，利用三角形中位线定理即可解决问题．

解：（1）如图1中，连接PC，BD，延长BD交PC于K，交AC于G．

∵CA＝CB，∠ACB＝60°，

∴△ABC是等边三角形，

∴∠CAB＝∠PAD＝60°，AC＝AB，

∴∠PAC＝∠DAB，

∵AP＝AD，

∴△PAC≌△DAB（SAS），

∴PC＝BD，∠ACP＝∠ABD，

∵AN＝ND，AM＝BM，

∴BD＝2MN，

∴．

∵∠CGK＝∠BGA，∠GCK＝∠GBA，

∴∠CKG＝∠BAG＝60°，

∴BK与PC的较小的夹角为60°，

∵MN∥BK，

∴MN与PC较小的夹角为60°．

故答案为，60°．

（2）如图设MN交AC于F，延长MN交PC于E．

∵CA＝CB，PA＝PD，∠APD＝∠ACB＝120°，

∴△PAD∽△CAB，

∴，

∵AM＝MB，AN＝ND，

∴，

∴△ACP∽△AMN，

∴∠ACP＝∠AMN， ，

∵∠CFE＝∠AFM，

∴∠FEC＝∠FAM＝30°．

（3）设MN＝a，由（2）得，

∵∠ACB＝90°，△ABC为等腰直角三角形，

∴AC=AM

∴，

∴PC＝a，

∵ME是△ABC的中位线，∠ACB＝90°，

∴ME是线段BC的中垂线，

∴PB＝PC＝a，

∵MN是△ADB的中位线，

∴DB＝2MN＝2a，

如图3﹣1中，当点P在线段BD上时，PD＝DB﹣PB＝（2﹣）a，

∴．

如图3﹣2中，当点P在DB延长线上时,PD＝DB+PB＝（2+）a，

∴＝2+．