Question

已知：直角坐标系xoy中，将直线沿y轴向下平移3个单位长度后恰好经过B(-3，0)及y轴上的C点．若抛物线与轴交于A，B两点（点A在点B的右侧），且经过点C，

（1）求直线的解析式；

（2）求抛物线的解析式；

（3）设抛物线的顶点为，点在抛物线的对称轴上，且，求点的坐标；

 

Answer 1

【答案】

⑴ 沿轴向下平移3个单位长度后经过轴上的点，∴C（0，-3）

设直线的解析式为．

∵ B(-3 ，0) 在直线上，∴ -3k-3=0  解得．

∴直线的解析式为．

（2）抛物线过点，

∴

解得    

∴ 抛物线的解析式为．

⑵ 由．可得D(-2，1) ，A（-1，0）．

，，，．可得是等腰直角三角形．

，．

设抛物线对称轴与轴交于点，∴AF=AB=1   ．

过点作于点．．

可得，．

在与中，，，

．

，．解得．       [

           点在抛物线的对称轴上，

           点的坐标为或． 

【解析】（1）先根据y=kx沿y轴向下平移3个单位长度后经过y轴上的点C求出C点的坐标，再用待定系数法求出直线BC的解析式，再根据抛物线y=-x²+bx+c过点B，C，把B、C两点的坐标代入所设函数解析式即可求出此解析式；

（2）根据（1）中二次函数的解析式可求出A、D两点的坐标，判断出△OBC是等腰直角三角形，利用锐角三角函数的定义可求出∠OBC的度数，过点A作AE⊥BC于点E，利用勾股定理可求出BE、AE及CE的长，再根据相似三角形的判定定理可得出△AEC∽△AFP，根据相似三角形的对应边成比例可求出PF的长，再点P在抛物线的对称轴上即可求出点P的坐标．