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等腰直角三角形ABC的斜边BC的长为8，直线MN∥BC且与AB、AC分别交于M、N，将△AMN沿直线MN翻折得△A′MN，设△A′MN与△ABC重合部分面积为y，MN=x，
（1）当A′在△ABC内部时，求y与x的函数关系式，并求x的取值范围；
（2）是否存在直线MN，使y的值为△ABC面积的 $数学公式$ ？若存在，求对应的x值；若不存在，说明理由．

解：（1）y=S_△A′MN= $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ x• $\text{[math]}$ x= $\text{[math]}$ x²（0＜x＜4）；

（2）S_△ABC= $\text{[math]}$ ×8×4=16，当A′在BC上时，x=4，y=4，
∴①当A′在BC边上或在△ABC内部时，0＜y≤4， $\text{[math]}$ 不在这个范围内，所以这时不存在直线MN．
②

当A′在△ABC外部时，连AA′交MN于F，交BC于G，且A′F=AF= $\text{[math]}$ x，
∴FG=4- $\text{[math]}$ x，
∴A′G= $\text{[math]}$ x-4+ $\text{[math]}$ x=x-4，
∴DE=2A′G=2x-8，
∴y= $\text{[math]}$ （x+2x-8）×（4- $\text{[math]}$ x）=- $\text{[math]}$ x²+8x-16（其中4＜x＜8），
当y= $\text{[math]}$ 时，
∵- $\text{[math]}$ x²+8x-16= $\text{[math]}$ ，
即：（3x-16）²=0，
解为x₁=x₂= $\text{[math]}$ ，
∵4＜x＜8，
∴存在直线MN使重叠部分面积为△ABC面积的 $\text{[math]}$ ，
此时x= $\text{[math]}$ ．
分析：（1）因为A′在ABC的内部，所以△A′MN的面积既是△AMN的面积，从而利用等腰直角三角形的性质即可得出y与x的函数关系式．
（2）先计算△ABC的面积，分情况进行讨论：①当A′在BC边上或在△ABC内部时，0＜y≤4，根据（1）的函数关系式可作出判断；②当A′在△ABC外部时，求出梯形MNED的面积，结合题意可得出x的值，符合题意即存在，不符合则不存在．
点评：本题考查翻折变换及等腰三角形的性质，综合性较强，难度较大，解答本题的关键是正确的画出示意图，利用所学的知识表示出重叠的面积，要求同学们熟练基础知识的掌握，此类综合题一般要求对基础知识比较熟悉才能解答出来．

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科目：初中数学 来源： 题型：

把两个全等的等腰直角三角形ABC和EFG（其直角边长均为4）叠放在一起（如图①），且使三角板EFG的直角顶点G与三角板ABC的斜边中点O重合．现将三角板EFG绕O点逆时针旋转（旋转角α满足条件：0°＜α＜90°），四边形CHGK是旋转过程中两三角板的重叠部分（如图②）．
（1）在上述旋转过程中，BH与CK有怎样的数量关系四边形CHGK的面积有何变化？证明你发现的结论；
（2）连接HK，在上述旋转过程中，设BH=x，△GKH的面积为y，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（3）在（2）的前提下，是否存在某一位置，使△GKH的面积恰好等于△ABC面积的

？若存在，求出此时x的值；若不存在，说明理由．

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科目：初中数学 来源： 题型：

如图1，在同一平面内，将两个全等的等腰直角三角形ABC和AFG摆放在一起，A为公共顶点，∠BAC=∠AGF=90°，它们的斜边长为4．若△ABC固定不动，△AFG绕点A旋转，AF、AG与边BC的交点分别为D、E（点D不与点B重合，点E不与点C重合），设BE=a，CD=b．
（1）请在图中找出两对相似而不全等的三角形，并选取其中一对进行证明；
（2）求a•b的值；
（3）在旋转过程中，当△AFG旋转到如图2的位置时，AG与BC交于点E，AF的延长线与CB的延长线交于点D，那么a•b的值是否发生了变化？为什么？