Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线交轴于、两点，交轴于点，．

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图2，为第一象限内抛物线上一点，的面积为3时，且，求点坐标；

（3）如图3，在（2）的条件下，、为抛物线上的点，且两点关于抛物线对称轴对称，过作轴垂线交过点且平行于轴的直线于，交抛物线于，延长至，连接，，当线段时，求点的坐标．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）

【解析】

(1)求出点C的坐标，利用待定系数法即可解决问题；
(2)如图2中，作PH⊥AB于H，交BC于T．，作CE⊥PH于E，设P(，)．构建方程即可解决问题；
(3)如图3中，作RM⊥DQ于M，连接EM．DH交AB于N．设D(n，)．首先证明△EDQ∽△HDE，推出∠HEQ=90°，由∠REH+∠RMH=180°，推出E、H、M、R四点共圆，推出∠ERH=∠EMH，推出tan∠ERH=tan∠EMD=，推出DM=(n-1)，推出QM=，由RM∥DE，可得，推出RM=，可得点R的坐标，把点R坐标代入，转化为方程解决问题即可．

(1)对于抛物线，

令y=0，得到，解得或3，
∴A(-1，0)，B(3，0)，
∴OB=3，
∵∠ABC=45°，
∴OC=OB=3，
∴C(0，3)，把(0，3)代入得到，
∴抛物线的解析式为；
(2)如图2中，作PH⊥AB于H，交BC于T，作CE⊥PH于E，设P(，)．

∵B(3，0)，C(0，3)，

设直线BC的解析式为，

把B(3，0)代入得：，

解得：，
∴直线BC的解析式为，
∴T，
∵

，
整理得：，
∴或2，
∵∠PCB＞45°，
∴，
∴点P的坐标为(1，4)；

(3)如图3中，作RM⊥DQ于M，连接EM，DH交AB于N．设D(n，)．

∵D、E两点关于抛物线对称轴对称，点P的坐标(1，4)，抛物线对称轴为，
∴PQ∥DE∥轴，DQ⊥轴，
∴Q(n，4)，

∴DE=，DQ=，
∴，，
∴，
∵∠EDQ=∠EDH=90°，
∴△EDQ∽△HDE，
∴∠DEQ=∠EHD，
∵∠DEQ+∠EQD=90°，
∴∠EHD+∠EQD=90°，
∴∠HEQ=90°，
∵∠REH+∠RMH=180°，
∴E、H、M、R四点共圆，
∴∠ERH=∠EMH，
∴tan∠ERH=tan∠EMD=，
∴DM=，
∴QM=DQ-DM=，
∵RM⊥DQ，

∴RM∥DE，
∴，即，
∴RM=，
∴点R的坐标为，

即，

把点R坐标代入得到：

，
解得：，
∴点D的坐标为(，)．