【题目】如图，在矩形
中，
，
，对角线
、
交于点
，点
在
延长线上，联结
，
，
分别交线段、边
、对角线于点
、
、
（点不与点
、重合）．
（1）当点是线段的中点，求
的长；
（2）设
，
，求
关于x的函数解析式，并写出它的定义域；
（3）当
是等腰三角形时，求
的长．
【答案】（1）
；（2）
；（3）
或
．
【解析】
（1）首先利用勾股定理得出
的长，证得
，得出
，进一步得出
，
，利用三角形相似的性质得出
、
的长，利用勾股定理求得而答案即可；
（2）作
，
，垂足分别为
、
，利用
，
，
，建立
、
之间的联系，进一步整理得出
关于x的函数解析式，根据
，得出x的定义域即可；
（3）分三种情况探讨：①当
时，②当
，③当
，分别探讨得出答案即可．
（1）
，
，∠ABC=90°，
，
，
，
点
是线段
的中点，
，
在
和
中，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
即
，
，
，
，
，
，
，
又
，
，
，
；
（2）如图，
作，，垂足分别为、，
，
，
，，，
，
，
，
，
又
，
，
，
，
，
则．
（3）当
是等腰三角形，
①当时，
，
，则
，
，由
，解得
；
②当，
，同理解得
；
③当，得出
不存在．
所以或．
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【题目】如图，在△ABC中，点D是边BC的中点，DE⊥AC、DF⊥AB，垂足分别是E、F，且BF=CE．
（1）求证：DE=DF；
（2）当∠A=90°时，试判断四边形AFDE是怎样的四边形，并证明你的结论．
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【题目】已知：如图1，在△ABC中，AB=AC，点 D 是边 BC 的中点．以BD为直径作⊙O，交边 AB于点P，连接PC，交AD于点E．
（1）求证：AD是⊙O的切线；
（2）当∠BAC=90°时，求证：CE=2PE；
（3）如图2，当PC是⊙O的切线，E为AD 中点，BC=8，求AD的长．
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【题目】为弘扬泰山文化，某校举办了“泰山诗文大赛”活动，从中随机抽取部分学生的比赛成绩，根据成绩（成绩都高于50分），绘制了如下的统计图表（不完整）：
组别 | 分数 | 人数 |
第1组 | 90＜x≤100 | 8 |
第2组 | 80＜x≤90 | a |
第3组 | 70＜x≤80 | 10 |
第4组 | 60＜x≤70 | b |
第5组 | 50＜x≤60 | 3 |
请根据以上信息，解答下列问题：
（1）求出a，b的值；
（2）计算扇形统计图中“第5组”所在扇形圆心角的度数；
（3）若该校共有1800名学生，那么成绩高于80分的共有多少人？
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【题目】某商品的进价为每件20元，售价为每件30元，每月可卖出180件.如果该商品的售价每上涨1元，就会少卖出10件，但每件售价不能高于35元，设每件商品的售价上涨x元（x为整数）时，月销售利润为y元.
（1）求y与x之间的函数解析式，并直接写出自变量x的取值范围.
（2）当每件商品的售价定为多少元时，可获得的月利润最大？最大月利润是多少？
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【题目】如图1：在平面直角坐标系内，O为坐标原点，线段AB两端点在坐标轴上且点A（﹣4，0），点B（0，3），将AB向右平移4个单位长度至OC的位置
（1）直接写出点C的坐标 ；
（2）如图2，过点C作CD⊥x轴于点D，在x轴正半轴有一点E（1，0），过点E作x轴的垂线，在垂线上有一动点P，直接写出：①点D的坐标 ； ②三角形PCD的面积为 ；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接AC，当△ACP的面积为
时，直接写出点P的坐标 ．
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【题目】如图，A、D、B、E四点在同一条直线上，AD＝BE，BC∥EF，BC＝EF．
（1）求证：AC＝DF；
（2）若CD为∠ACB的平分线，∠A＝25°，∠E＝71°，求∠CDF的度数．
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