Question

【题目】如图，四边形ABCD内接于⊙O，直径AC与弦BD的交点为E，OB∥CD，BH⊥AC，垂足为H，且∠BFA＝∠DBC．

（1）求证：BF是⊙O的切线；

（2）若BH＝3，求AD的长度；

（3）若sin∠DAC＝，求△OBH的面积与四边形OBCD的面积之比．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）AD＝6；（3）．

【解析】

（1）根据切线的判定即可证明BF是⊙O的切线；

（2）根据AC是⊙O的直径，可得∠ADC＝90°，证明△ACD∽△BOH，对应边，即可求出AD的长；

（3）由（2）可得△ACD∽△BOH，∠DAC＝∠OBH，再根据sin∠DAC＝，设OH＝4a，OB＝7a，可得AC＝2OB＝14a，DC＝8a，根据勾股定理得，BH＝，过C作CM⊥OB于M，再根据OB∥CD，CM⊥OB，可得CM⊥CD，由S四边形OBCD＝S△OCD+S△OCB，进而可求出△OBH的面积与四边形OBCD的面积之比．

解：（1）证明：∵∠DBC，∠DAC是同弧所对的圆周角，

∴∠DBC＝∠DAC，

∵∠BFA＝∠DBC，

∴∠DAC＝∠BFA，

∵OB∥CD，

∴∠BOF＝∠ACD，

∵AC是⊙O的直径，

∴∠ADC＝90°，

∴∠DAC+∠ACD＝90°，

∴∠BOF+∠F＝90°，

∴∠OBF＝90°，

∴OB⊥BF，

∴BF是⊙O的切线；

（2）∵BH⊥AC，

∴∠OHB＝90°，

∵AC是⊙O的直径，

∴∠ADC＝90°，

∴∠ADC＝∠OHB，

∵∠BOC＝∠ACD，

∴△ACD∽△BOH，

∴，

∵BH＝3，

∴AD＝6；

（3）∵△ACD∽△BOH，

∴∠DAC＝∠OBH，

∵sin∠DAC＝＝，

∴sin∠OBH＝，设OH＝4a，OB＝7a，

∴AC＝2OB＝14a，

∴DC＝8a，

∴BH＝，

如图，过C作CM⊥OB于M，

∵OB＝OC，

∴CM＝BH＝，

∵OB∥CD，CM⊥OB，

∴CM⊥CD，

∴S四边形OBCD＝S△OCD+S△OCB

＝CDCM+OBCM

＝（8a+7a）×

＝，

S△OBH＝×OH×BH＝×4a×＝，

∴＝．

答：△OBH的面积与四边形OBCD的面积之比为．