Question

如图，已知点A（-12，0），B（3，0），点C在y轴的正半轴上，且∠ACB=90°．
（1）求点C的坐标；
（2）求Rt△ACB的角平分线CD所在直线l的解析式；
（3）在l上求出满足S_△PBC=S_△ABC的点P的坐标；
（4）已知点M在l上，在平面内是否存在点N，使以O、C、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在．请说明理由．

Answer 1

解：（1）由△AOC∽△COB，可得OC²=OA×OB=36，
∴OC=6
又∵点C在y轴的正半轴上，
∴点C的坐标是（0，6）；

（2）过点D作DE⊥BC于点E．设DB的长为m．
在Rt_△DEB中，DE=DB•sinB=m•=m，BE=DB•cosB=m
在Rt_△DEC中，∠DEC=45°，于是CE=DE=m
由CE+BE=BC，即m+m=3，解得m=5
又由OA＞OB，知点D在线段OA上，OB=3，所以OD=2，故点D（-2，0）；
设直线l的解析式为：y=kx+b，把C（0，6）和D（-2，0）代入y=kx+b中，
得，
解得．
故直线l的解析式为：y=3x+6；

（3）①取AB的中点F（-4.5，0），过点F作BC的平行线交直线l于点P₁，连接CF．
易知S_△P1BC=S_△FBC=S_△ACB，∴点P₁为符合题意的点．
直线P₁F可由直线BC向左平移BF个单位得到（即向左平移7.5个单位）
而直线BC的解析式为y=-2x+6，

即直线P₁F的解的式为y=-2（x+7.5）+6即
y=-2x-9，由得点P₁（-3，-3）
②在直线l上取点P₂使C P₂=C P₁，此时有S_△P2BC=S_△P1BC=S_△ACB，∴点符P₂合题意．
由C P₂=C P₁，可得点P₂的坐标为（3，15），∴点P（-3，-3）或P（3，15）可使S_△PBC=S_△APBC；

（4）当OC是菱形的对角线时，OC的中点的坐标是（0，3），则把y=3代入l的解析式得：3x+6=3，
解得：x=-1．
则M的坐标是（-1，3），N的坐标是（1，3）；
当OC是菱形的一条边时，点N的坐标是（-，-），（，），（-，-）．
故N的坐标是（1，3）或（-，-）或（，）或（-，-）．
分析：（1）OC是直角△ABC斜边上的高线，则△AOC∽△COB，根据相似三角形的对应边的比相等，即可求得OC的长，进而求得C的坐标；
（2）过点D作DE⊥BC于点E．设DB的长为m，在直角△BDE中，利用三角函数利用m表示出DE和BE的长，进而表示出CE的长，根据BE+CE=BC即可得到一个关于m的方程求得m的值，则D的横坐标即可求解，然后利用待定系数法即可求得函数的解析式；
（3）延长AB到Q使BG=AB，根据S_△PBC=S_△ABC则点P一定在经过AB的中点或Q平行于直线BC的直线上，这条直线与l的交点就是P点；
（4）当OC是菱形的对角线时，MN一定在AC的中垂线上，且MN一定关于OC对称，据此即可求得N的坐标；
当OC是菱形的一条边时，依据M在直线l上，即可求得M的坐标，再由MN∥OC，MN=OC即可得出N点坐标．
点评：本题是待定系数法求函数的解析式，以及三角形的面积，直线平行的条件，菱形的性质的综合应用，正确进行讨论是关键．