【题目】在△ABC中，AB = AC，在△ABC的外部作等边三角形△ABD，E为AB的中点，连接 DE并延长交BC于点F.
(1)如图1，若∠BAC = 90°，连接CD，求证：CD平分∠ADF；
(2)如图2，过点A折叠∠CAD，使点C与点D重合，折痕AM交EF于点M，若点M正好在∠ABC的平分线上，连接BM并延长交AC于点N，课堂上两个学习小组分别得出如下两个结论：①∠BAC的度数是一个定值，为100°；②线段MN与NC一定相等.
请你选择其中一个结论，判断是否正确?若正确，给予证明:若不正确，说明理由.
【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.
【解析】
（1）根据等腰三角形的三线合一证DE⊥AB，再证AC//DE，得∠CDF=∠ACD，根据等边对等角证∠ADC=∠ACD，等量代换即可证明.
（2）若选①，根据等腰三角形的三线合一求出DM垂直平分AB，得AM=BM，得∠BAM=∠ABM，设∠BAM=∠ABM=a，可根据条件表示出∠ACB，∠BAC，∠MAC，利用∠DAB=60°，∠DAM=∠CAM，列方程即可求出a的值，即可求解；若选②，连接MC，在①的基础上求出∠MCN和∠NMC，即可判断.
（1）∵△ABD是等边三角形
∴AD=AB
∵AB=AC
∴.AD=AC
∴∠ADC=∠ACD
∵ E为AB的中点
∴DE⊥AB
∴∠BAC=90°
∴∠AED=∠BAC
∴AC//DE
∴∠CDF=∠ACD
∴∠ADC=∠CDF，即CD平分∠ADF
(2)若选①，正确.理由是：
在等边△ABD中，∠BAD=60°
∵E为AB的中点，
∴DF垂直平分AB
∴AM-=BM
∴∠BAM=∠ABM
∵点M在∠ABC的平分线上
∴∠ABM=∠CBM
设∠BAM=∠ABM =a，则∠ABC=2a
∵AB=AC
∴∠ACB=∠ABC=2a
∴∠BAC=180°-4a
由折叠可知：∠DAM=∠CAM=60°+a
∴60°+a+a=180°-4a
∴a=20°
∴∠BAC =60°+20°+20°=100°
若选②，正确，理由是;
若接MC，根据题意得：∠ACM=∠ADM=
×60°=30°
由①知，∠ACB=40°，∠NBC=20°
∠BCM=∠ACB -∠ACM=40°-30°=10°
∵∠NMC=∠NBC+∠BCM=30°
∴∠ACM=∠NMC
∴MN=NC.
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【题目】为评估九年级学生的学习成绩状况，以应对即将到来的中考做好教学调整，某中学抽取了部分参加考试的学生的成绩，绘制成了如下两幅不完整的统计图，请根据图中提供的信息解答下列问题：
（1）本次调查共抽取了多少名学生？
（2）通过计算补全条形统计图；
（3）该校九年级共有1000人参加了这次考试，请估算该校九年级共有多少名学生的学习成绩达到优秀.
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【题目】如图，在ABCD中，AB⊥BD，sinA=
，将ABCD放置在平面直角坐标系中，且AD⊥x轴，点D的横坐标为1，点C的纵坐标为3，恰有一条双曲线y=
（k＞0）同时经过B、D两点，则点B的坐标是_____．
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【题目】如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD与直径AB相交于点F．点E在⊙O外，作直线AE，且∠EAC＝∠D．
(1)求证：直线AE是⊙O的切线．
(2)若∠BAC＝30°，BC＝4，cos∠BAD＝
，CF＝
，求BF的长．
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【题目】如图，在△ABC中，小刚同学按如下步骤作图：
(1)以B为圆心，BC长为半径画弧，交AB于点E
(2)分别以点C.E为圆心，大于
CE的长为半径画弧，两弧在△ABC内相交于点P
(3)连接BP,并延长交AC于点D
(4)连接DE
根据以上作图步骤，有下列结论：①BD平分∠ABC； ②AD+DE = AC；③点P与点D关于直线CE对称； ④△BCD与△BED关于直线BD对称.
其中正确结论的个数是（ ）
A.1个B.2个C.3个D.4个
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【题目】为了丰富同学的课余生活，某学校将举行“亲近大自然”户外活动，现随机抽取了部分学生进行主题为“你最想去的景点是________”的问卷调查，要求学生只能从“A（绿博园），B（人民公园），C（湿地公园），D（森林公园）”四个景点中选择一项，根据调查结果，绘制了如下两幅不完整的统计图．
回答下列问题：
（1）本次共调查了多少名学生？
（2）补全条形统计图；
（3）若该学校共有3 600名学生，试估计该校去湿地公园的学生人数．
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【题目】（1）如图1，线段OA的一个端点O在直线l上，且与直线l所成的锐角为50°，以OA为一边画等腰三角形，并且使另一个顶点P在直线l上，这样的等腰三角形能画 个．
（2）如图1，如果OA与直线l所成的锐角为60°，以OA为一边画等腰三角形，并且使另一个顶点P在直线l上，这样的等腰三角形能画 个．
想一想：如图2，△ABC中，∠A＝20°，∠B＝50°，过顶点C作一条直线，分割出一个等腰三角形这样的直线最多可以画 条．
算一算：如图3，在△ABC中，∠BAC＝20°，若存在过点C的一条直线，能把该三角形分成两个等腰三角形，试求∠B的度数．
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【题目】如图，在平面直角坐标系
中，已知一次函数
＝
的图象经过点A（1，0），与反比例函数＝
（
＞0）的图象相交于点B（2，1）．
（1）求
的值和一次函数的解析式；
（2）结合图象直接写出：当＞0时，不等式＞的解集．
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【题目】某中学九（1）班为了了解全班学生喜欢球类活动的情况，采取全面调查的方法，从足球、乒乓球、篮球、排球等四个方面调查了全班学生的兴趣爱好，根据调查的结果组建了4个兴趣小组，并绘制成如图所示的两幅不完整的统计图（如图①，②，要求每位学生只能选择一种自己喜欢的球类），请你根据图中提供的信息解答下列问题：
（1）九（1）班的学生人数为 ，并把条形统计图补充完整；
（2）扇形统计图中m= ，n= ，表示“足球”的扇形的圆心角是 度；
（3）排球兴趣小组4名学生中有3男1女，现在打算从中随机选出2名学生参加学校的排球队，请用列表或画树状图的方法求选出的2名学生恰好是1男1女的概率．
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