Question

如图，已知CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为点M，点P是

AB

上一点，且∠BPC=60°．
（1）判断△ABC的形状，并说明你的理由；
（2）若DM=2，求⊙O的半径．

Answer 1

分析：（1）由CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD，根据垂径定理，即可得AC=BC，然后由圆周角定理，即可求得∠BAC=60°，根据等边三角形的判定定理，即可证得△ABC是等边三角形；
（2）首先连接OA，AD，即可证得△OAD是等边三角形，然后根据含30°的直角三角形的性质，即可求得AD的长，继而可得⊙O的半径．

解答：解：（1）△ABC是等边三角形．
理由：∵CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD，
∴

AC

=

BC

，
∴AC=BC，
∵∠BPC=60°，
∴∠BAC=∠BPC=60°，
∴△ABC是等边三角形．

（2）连接OA，AD，
∵CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD，
∴∠CAD=90°，∠DCA=

1

2

∠BCA=30°，
∴∠ADC=60°，
∴∠MAD=30°，△AOD是等边三角形，
∵DM=2，
∴AD=2DM=4，
∴OD=4，
∴⊙O的半径为4．

点评：此题考查了圆周角定理、垂径定理、等边三角形的判定与性质以及直角三角形的性质等知识．此题综合性较强，难度适中，解题的关键是注意数形结合思想的应用，注意辅助线的作法．