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    如图，已知⊙O的圆心在坐标原点，半径为2，过圆上一点T（
    		2
    ，
    		2
    ）的切线交x轴于A点，交y轴于B点．
    （1）求OA、OB的长；
    （2）在切线AB上取一点C，以C为圆心，半径为r的⊙C与⊙O外切于P点，两圆的内公切线PM交OT的延长线于M，过M点作⊙C的切线MN，切点为N．求证：MN=TC且MN∥TC；
    （3）若（2）中的⊙C的圆心在AB上移动且始终与⊙O外切（即r在变化），N点坐标精英家教网为（x，y），问N点的坐标x，y能否写成与r无关的关系式？若能，请写出关系式；若不能，请说明理由．
    分析：（1）根据点T的坐标知：∠TOA=45°，由于BA切⊙O于T，则OT⊥BA，故∠OAB=∠OBA=45°，过T作TG⊥x轴于G，则TG=OG=GA=
    		2
    ，由此可求得OA、OB的长．
    （2）由于PM是两圆的公切线，则MP⊥OC，而OP、OT都是⊙O的半径，易证得Rt△MOP≌Rt△COT，得MP=TC，由切线长定理知MP=MN，即可得到TC=MN；由上述全等三角形还可得OM=OC都等于两圆的半径和，则MT=CN，易知∠MTC=∠MNC=90°，即可证得MN∥TC（可连接MC，通过证三角形全等得MN、TC的内错角相等）．
    （3）设MN与x轴的交点为D，过N作NH⊥x轴于H，由（2）MN∥TC知∠TMN=90°，则△MOD、△HND都是等腰直角三角形，那么OD=OH+HN=x+y，而OD=
    		2
    OM，OM等于两圆的半径和，联立上述两式可得x、y、r的第一个关系式；易求得MN的长，即TC的长，可在Rt△OTC中，根据勾股定理得到另外一个x、y、r的关系式，联立两式即可得到x、y的关系式．
    解答：精英家教网（1）解：过T作TG⊥x轴于G；
    ∵T点坐标（
    		2
    ，
    		2
    ），
    ∴OG=GT=
    		2
    ，
    ∴∠TOG=45°，
    ∴∠OAB=45°，
    即△AOB是等腰直角三角形，
    ∴OA=OB=
    		2
    OT=2
    		2
    ．

    （2）证明：∵PM是两圆的内公切线，
    ∴MP⊥OC，
    ∴Rt△MOP≌Rt△COT，
    ∴MP=CT；
    又MN、MP是⊙C的切线长，
    ∴MP=MN，
    ∴MN=TC ①，
    又由上，得OC=MO，精英家教网
    ∴r+2=MT+2，MT=r；
    ∵CN=r，
    ∴MT=NC，
    ∵∠MNC=∠MTC=90°，
    ∴MN∥TC②，
    ∴MN=TC．

    （3）解：能写成与r无关的式子，设直线MN交x轴于D，过N作NH⊥x轴于H；
    由（1）、（2）可知，△OMD、△NHD都是等腰直角三角形，
    ∴OD=OH+HD=OH+HN=x+y，即OD=x+y；
    又OD=
    		2
    OM=
    		2
    （2+r），
    ∴x+y=
    		2
    (2+r)    ①，
    MN=MD-ND=OM-ND=（2+r）-
    		2
    y，
    即MN=（2+r）-
    		2
    y；
    在Rt△OTC中，
    由OT2+TC2=OC2，又TC=MN，
    ∴22+[（2+r）-
    		2
    y]2=（2+r）2②；
    由①，得2+r=
    1
    		2
    (x+y)    ，代入②得：4+[
    1
    		2
    (x+y)    -
    		2
    y    ]2=（
    x+y
    		2
    ）2，
    解得xy=2，y=
    2
    x
    ．
    点评：此题考查了相切两圆的性质、切线的性质、切线长定理、全等三角形的判定和性质、勾股定理的应用等，综合性强，难度较大．
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    （2）在切线AB上取一点C，以C为圆心，半径为r的⊙C与⊙O外切于P点，两圆的内公切线PM交OT的延长线于M，过M点作⊙C的切线MN，切点为N．求证：MN=TC且MN∥TC；
    （3）若（2）中的⊙C的圆心在AB上移动且始终与⊙O外切（即r在变化），N点坐标为（x，y），问N点的坐标x，y能否写成与r无关的关系式？若能，请写出关系式；若不能，请说明理由．

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