Question

在平面直角坐标系中给定以下五个点A(－3，0)，B(－1，4)，C(0，3)，D(，)，E(1，0)．

(1)请从五点中任选三点，求一条以平行于y轴的直线为对称轴的抛物线的表达式；

(2)求该抛物线的顶点坐标和对称轴，并画出草图；

(3)已知点F(－1，)在抛物线的对称轴上，直线y＝过点G(－1，)且垂直于对称轴．验证：以点E(1，0)为圆心，EF为半径的圆与直线y＝相切．请你进一步验证，以抛物线上的点D(，)为圆心，DF为半径的圆也与直线y＝相切．由此你能猜想到怎样的结论2．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)设抛物线的表达式为y＝ax2＋bx＋c， 　　且过点A(－3，0)，C(0，3)，E(1，0)， 　　得方程组解得a＝－1，b＝－2，c＝3． 　　所以抛物线的解析式为y＝－x2－2x＋3． 　　(2)由y＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4得顶点坐标为 　　(－1，4)，对称轴为x＝－1． 　　(3)①连接EF，过点E作直线y＝的垂线，垂足为点N，则EN＝HG＝． 　　在Rt△FHE中，HE＝2，HF＝， 　　所以EF＝＝． 　　所以EF＝EN． 　　所以以E点为圆心，EF为半径的⊙E与直线y＝相切． 　　②连接DF，过点D作直线y＝的垂线，垂足为点M．过点D作DQ⊥GH垂足为点Q， 　　则DM＝QG＝－＝＝． 　　在Rt△FQD中，QD＝， 　　QF＝－＝＝2， 　　FD＝＝． 　　所以以D点为圆心，DF为半径的⊙D与直线y＝相切． 　　③以抛物线上任意一点P为圆心，以PF为半径的圆与直线y＝相切． 　　点评：本题(3)问中的结论不唯一，它给定已知条件，但是结论不确定，解答这类问题时，一定要抓住图象特征多角度展开分析，一定要注意准确画图．