[题目]如图.已知∠POQ＝60°.点A.B分别在射线OQ.OP上.且OA＝2.OB＝4.∠POQ的平分线交AB于C.一动点N从O点出发.以每秒1个单位长度的速度沿射线OP向点B作匀速运动.MN⊥OB交射线OQ于点M．设点N运动的时间为t(0＜t＜2)秒．(1)求证:△ONM∽△OAB,(2)当MN＝CM时.求t的值,(3)设△MNC与△OAB重叠部分的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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【题目】如图，已知∠POQ＝60°，点A、B分别在射线OQ、OP上，且OA＝2，OB＝4，∠POQ的平分线交AB于C，一动点N从O点出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线OP向点B作匀速运动，MN⊥OB交射线OQ于点M．设点N运动的时间为t（0＜t＜2）秒．

（1）求证：△ONM∽△OAB；

（2）当MN＝CM时，求t的值；

（3）设△MNC与△OAB重叠部分的面积为S．请求出S关于t的函数表达式．

【答案】（1）见解析；（2）；（3）.

【解析】

（1）由题意可知：ON=t，∠POQ＝60°，∠ONM=90°，根据锐角三角函数求出OM，然后利用两组对应边成比例及其夹角相等的两个三角形相似，即可证出△ONM∽△OAB；

（2）分别用t表示出：MN、OM、CM、AM，然后在Rt△AMC中根据勾股定理即可求出t的值；

（3）根据点M的位置分类讨论：①当M在线段OA上时，即0＜2t≤2，解得0＜t≤1时，由图可知：△MNC与△OAB重叠部分的面积是△MNC的面积，利用S=S△NMC=S△AOB－S△BNC－S△ONM－S△ACM，即可求出此时S与t的函数关系式；②当M在OA的延长线上时，即2＜2t，此时1＜t＜2时，

设MN与AC交于点F，过点N作NE⊥AB，由图可知：△MNC与△OAB重叠部分的面积为△NCF的面积，最后计算△NCF的面积，即可求出此时S与t的函数关系式.

解：（1）由题意可知：ON=t，∠POQ＝60°，∠ONM=90°

∴OM=

∴

∵∠NOM=∠AOB

∴△ONM∽△OAB；

（2）在Rt△OMN中

MN=ON·tan∠NOM=，OM=2t

∴CM=MN=，AM=OA－OM=2－2t

∵OC平分∠POQ

∴∠COA=∠POQ=30°

在Rt△OAC中，AC=OA·tan∠COA=

在Rt△AMC中，AC2+AM2=CM2

即

解得：（不符合条件，故舍去）

故；

（3）①当M在线段OA上时，即0＜2t≤2，解得0＜t≤1时，由图可知：△MNC与△OAB重叠部分的面积是△MNC的面积

过点C作CE⊥OB于E，

∵△ONM∽△OAB

∴∠OAB=∠ONM=90°

∴AB=OB·sin∠AOB=

∵OC平分∠POQ

∴CE=CA=，

∴BN=OB－ON=4－t

此时S=S△NMC=S△AOB－S△BNC－S△ONM－S△ACM

=AO·BA－BN·CE－ON·MN－AM·AC

=×2×－×（4－t）×－×t×－×（2－2t）×

即S=（0＜t≤1）；

②当M在OA的延长线上时，即2＜2t，此时1＜t＜2时，

设MN与AC交于点F，过点N作NE⊥AB，由图可知：△MNC与△OAB重叠部分的面积为△NCF的面积，

∵∠POQ=60°

∴∠OBA=∠OMN=90°－∠POQ=30°

∵BN=OB－ON=4－t，AM=OM－OA=2t－2

∴NE=BN·sin∠OBA=，AF=AM·tan∠OMN=

∴FC=AC－AF=－=

∴S=S△NCF=FC·NE=

即S=（1＜t＜2）.

综上所述：S=

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