Question

如图，抛物线的顶点为D，与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，且OB =" 2OC=" 3．

（1）求a，b的值；
（2）将45°角的顶点P在线段OB上滑动(不与点B重合)，该角的一边过点D，另一边与BD交于点Q，设P（x，0），y₂=DQ，试求出y₂关于x的函数关系式；
（3）在同一平面直角坐标系中，两条直线x = m，x = m+分别与抛物线y₁交于点E，G，与y₂的函数图象交于点F，H．问点E、F、H、G围成四边形的面积能否为？若能，求出m的值；若不能，请说明理由．

Answer 1

（1）由已知，OB=2OC=3
可得，拋物线y₁=ax²-2ax+b经过B(3，0)，C(0，)两点，
∴，∴
∴拋物线的解析式为y₁=-x²+x+．          ---------4分
（2）作DN⊥AB，垂足为N．（如下图1）
由y₁= -x²+x+易得D(1，2)， N(1，0)，A(-1，0)，B(3，0)，
∴AB=4，DN=BN=2，DB=2，
ÐDBN=45°．根据勾股定理有BD ²-BN ²="PD" ²-PN ²．
∴(2)²-2²=PD²-(1-x)²-----j
又ÐMPQ=45°=ÐMBP，
∴△MPQ ∽ △MBP，∴PD²=DQ´DB=y₂´2------k．
由j、k得y₂=x²-x+．∵0≤x＜3，
∴y₂与x的函数关系式为y₂=x²-x+=(0≤x≤3)．--------4分
（自变量取值范围没写，不扣分）


（3）假设E、F、H、G围成四边形的面积能为 （如图2）
∵点E、G是抛物线y₁= -x²+x+= 分别与直线x=m，x= m+的交点
∴点E、G坐标为E(m，)，G(m+，)．
同理，点F、H坐标为F(m，)，H(m+，)．
∴EF=-［］=
GH=)-［］=．
∵四边形EFHG是平行四边形或梯形，
∴S=［+］×=
化简得
解得m=或（都在0≤x≤3内）
所以，当m=或时，E、F、H、G围成四边形的面积为.   --------4分解析:
通过B(3，0)，C(0，)两点，求出拋物线的解析式，
（2）作DN⊥AB，由y₁求出AB=4，DN=BN=2，DB=2，由根据勾股定理得jPD²-(1-x)²=4，又因为△MPQ ∽ △MBP，所以kPD²=DQ´DB=y₂´2，由j、k得y₂与x的函数关系式
（3）假设E、F、H、G围成四边形的面积能为，通过y₁求出E、G、F、H的坐标，求出EF、GH的长度，
通过四边形EFHG的面积求出m的值