Question

如图，已知△ABC中，AB=a，点D在AB边上移动（点D不与A、B重合），DE∥BC，交AC于E，连接CD．设S_△ABC=S，S_△DEC=S₁．
（1）当D为AB中点时，求S₁：S的值；
（2）若AD=x，

S1

S

=y，求y关于x的函数关系式及自变量x的取值范围；
（3）是否存在点D，使得S1＞

1

4

S成立？若存在，求出D点位置；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）当D为AB中点时，DE是三角形ABC的中位线，DE：BC=1：2，而高线的比也是1：2，则三角形的面积的比就可以求出；
（2）根据相似三角形的性质，可以得到底边DE、BC以及高线之间的关系，就可以求出面积的比；
（3）使得S1＞

1

4

S成立，可以转化为函数值y的大小关系．

解答：解：过A作AM⊥BC，交DE于点N，设AD=x，
根据DE∥BC，可以得到

DE

BC

=

AN

AM

=

AD

AB

=

x

a

，
则DE=

x

a

•BC，AN=

x

a

•AM；
（1）当D为AB中点时，DE是三角形ABC的中位线，
则DE=

1

2

BC，AN=

1

2

AM，而S_△ABC=S=

1

2

•AM•BC，
∴S_△DEC=S₁=

1

2

•AN•DE，
∴S₁：S的值是1：4；

（2）作AM⊥BC，垂足为M，交DE于N点，
∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，
∴

AN

AM

=

DE

BC

=

AD

AB

=

x

a

，
∴

NM

AM

=

a-x

a

．

S1

S

=（

1

2

•MN•DE）：（

1

2

•AM•BC）=

DE

BC

•

MN

AM

=

x

a

•

a-x

a

=

ax-x2

a2

即y=

ax-x2

a2

，0＜x＜a，

（3）不存在点D，使得S₁＞

1

4

S成立．
理由：假设存在点D使得S₁＞

1

4

S成立，
那么

S1

S

＞

1

4

即y＞

1

4

，
∴

ax-x2

a2

＞

1

4

，
整理得，(x-

a

2

)2＜0，
∵（x-

a

2

）²≥0，
∴x不存在．
即不存在点D使得S₁＞

1

4

S．

点评：本题主要考查了相似三角形的性质，以及三角形的面积的计算方法．