Question

【题目】如图，A、B两点在反比例函数（k＞0，x＞0）的图象上，AC⊥y轴于点C，BD⊥x轴于点D，点A的横坐标为a，点B的横坐标为b，且a＜b．

（1）若△AOC的面积为4，求k值；

（2）若a＝1，b＝k，当AO＝AB时，试说明△AOB是等边三角形；

（3）若OA＝OB，证明：OC＝OD．

Answer 1

【答案】（1）8（2）△AOB是等边三角形（3）见解析

【解析】

（1）由反比例函数系数k的几何意义解答；

（2）根据全等三角形△ACO≌△BDO（SAS）的性质推知AO＝BO，结合已知条件AO＝AB得到：AO＝BO＝AB，故△AOB是等边三角形；

（3）证明：在Rt△ACO和Rt△BDO中，根据勾股定理得：AO2＝AC2+OC2，BO2＝BD2+OD2，结合已知条件OA＝OB，得到：AC2+OC2＝BD2+OD2，由坐标与图形性质知：，整理得到： ，，易得，故OC＝OD．

解：（1）∵AC⊥y轴于点C，点A在反比例函数（k＞0，x＞0）的图象上，且△AOC的面积为4，

∴|k|＝4，

∴k＝8；

（2）由a＝1，b＝k，可得A（1，k），B（k，1），

∴AC＝1，OC＝k，OD＝k，BD＝1，

∴AC＝BD，OC＝OD．

又∵AC⊥y轴于点C，BD⊥x轴于点D，

∴∠ACO＝∠BDO＝90°，

∴△ACO≌△BDO（SAS）．

∴AO＝BO．

又AO＝AB，

∴AO＝BO＝AB，

∴△AOB是等边三角形；

（3）证明：在Rt△ACO和Rt△BDO中，根据勾股定理得：AO2＝AC2+OC2，BO2＝BD2+OD2，

∵OA＝OB，

∴AC2+OC2＝BD2+OD2，

即有：，

∴，，

因为0＜a＜b，所以a2﹣b2≠0，

∴，

∴，负值舍去，得：，

∴，

∴OC＝OD．