Question

如图，在△ABC中，∠C=90°，点D、E分别在边AC、AB上，BD平分∠ABC，DE⊥AB，AE=8，cosA=

4

5

．
（1）求CD的长；
（2）求tan∠DBC的值．

Answer 1

分析：（1）由DE⊥AB，AE=8，cosA=

4

5

，可求出AD的长，根据勾股定理可求出DE的长，由角平分线的性质可得DC=DE=6；
（2）由AD=10，DC=6，得AC=AD+DC=16，由tgA=

BC

AC

=

DE

AE

求出BC，从而求出tan∠DBC的值．

解答：解：（1）在Rt△ADE中，cosA=

AE

AD

=

4

5

．（2分）
∴AD=

5

4

AE=

5

4

×8=10．（1分）
∴DE=

AD2-AE2

=

102-82

=6．（1分）
∵BD平分∠ABC，DE⊥AB，DC⊥BC，
∴CD=DE=6．（1分）

（2）在Rt△ACB与Rt△ADE中，AC=AD+DC=16，
∵tgA=

BC

AC

=

DE

AE

，（2分）
∴BC=

AC•DE

AE

=

16×6

8

=12．（2分）
∴tan∠DBC=

CD

BC

=

6

12

=

1

2

．（1分）

点评：考查综合应用解直角三角形、直角三角形性质、三角函数值的定义，进行逻辑推理能力和运算能力．