Question

8．如图，点A、B分别在反比例函数y=$\frac{1}{x}$（x＞0）、y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的图象上，且∠AOB=90°，∠B=30°，求y=$\frac{k}{x}$的表达式．

Answer 1

分析 过A作AC垂直于y轴，过B作BD垂直于y轴，易证△AOC∽△OBD，利用反比例函数k的几何意义求出两三角形的面积，得出面积比，在直角三角形AOB中，利用锐角三角函数定义即可求出tan∠B的值，即OA与OB的比值，利用面积比等于相似比的平方，即可求出k值．

解答 解：过A作AC⊥y轴，过B作BD⊥y轴，可得∠ACO=∠BDO=90°，
∴∠AOC+∠OAC=90°，
∵OA⊥OB，
∴∠AOC+∠BOD=90°，
∴∠OAC=∠BOD，
∴△AOC∽△OBD，
∵点A、B分别在反比例函数y=$\frac{1}{x}$（x＞0），y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的图象上，
∴S_△AOC=$\frac{1}{2}$，S_△OBD=|$\frac{k}{2}$|，
∴S_△AOC：S_△OBD=1：|k|，
∴（$\frac{OA}{OB}$）²=1：|k|，
则在Rt△AOB中，tanB=$\frac{OA}{OB}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴1：|k|=1：3，
∴|k|=3
∵y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的图象在第四象限，
∴k=-3，
∴y=$\frac{k}{x}$的表达式为：y=-$\frac{3}{x}$．

点评 本题考查了相似三角形的判定与性质，锐角三角函数定义，以及反比例函数k的几何意义，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．