Question

已知：△ABD和△CBD关于直线BD对称（点A的对称点是点C），点E、F分别是线段BC和线段BD上的点，且点F在线段EC的垂直平分线上，连接AF、AE，AE交BD于点G．
（1）如图l，求证：∠EAF＝∠ABD；
（2）如图2，当AB＝AD时，M是线段AG上一点，连接BM、ED、MF，MF的延长线交ED于点N，∠MBF＝∠BAF，AF＝AD，请你判断线段FM和FN之间的数量关系，并证明你的判断是正确的．

Answer 1

（1）证明见解析；（2）FM=FN ，证明见解析.

试题分析：（1）连接FE、FC，先证△ABF、△CBF全等，得∠FEC=∠BAF，通过四边形ABEF与三角形AEF内角和导出.
（2）先由△AFG∽△BFA，推出∠AGF=∠BAF，再得BG=MG，通过△AGF∽△DGA，导出GD=a. FD=a，过点F作FQ∥ED交AE于Q，通过BE∥AD得线段成比例，设EG=2k，BG=MG=3k，GQ=EG=，MQ=3k+=，，从而FM=FN.
（1）如图，连接FE、FC，
∵点F在线段EC的垂直平分线上，∴FE="FC." ∴∠l=∠2.
∵△ABD和△CBD关于直线BD对称，∴AB=CB，∠4=∠3， BF=BF.
∴△ABF≌△CBF（SAS）. ∴∠BAF=∠2，FA=FC.
∴FE=FA，∠1=∠BAF. ∴∠5=∠6 .
∵∠l+∠BEF=180⁰，∴∠BAF+∠BEF=180⁰.
∵∠BAF+∠BEF+∠AFE+∠ABE=360⁰，∴∠AFE+∠ABE=180⁰.
又∵∠AFE+∠5+∠6=180⁰，∴∠5+∠6=∠3+∠4.
∴∠5=∠4，即∠EAF=∠ABD.

（2）FM=FN ，证明如下：
如图，由（1）可知∠EAF=∠ABD，
又∵∠AFB=∠GFA，∴△AFG∽△BFA. ∴∠AGF=∠BAF。
又∵∠MBF=∠BAF．∠MBF=∠AGF，∠AGF=∠MBG+∠BMG，∴∠MBG=∠BMG.∴BG=MG.
∵AB=AD，∴∠ADB=∠ABD=∠EAF.
∵∠FGA=∠AGD，∴△AGF∽△DGA. ∴.
∵AF=AD，∴.
设GF="2a" ，AG=3a，则GD=a. ∴FD=a.
∵∠CBD=∠ABD， ∠ABD=∠ADB，∴∠CBD=∠ADB. ∴BE∥AD.
∴. ∴.
设EG=2k，∴BG=MG=3k.
过点F作FQ∥ED交AE于Q，
∴.∴.
∴GQ=EG=，MQ=3k+=. ∴.
∵FQ∥ED，∴. ∴FM=FN.