Question

如图所示，AD为⊙O的直径，一条直线l与⊙O交于E、F两点，过A、D分别作直线l的垂线，垂足是B、C，连接CD交⊙O于G．
（1）求证：AD•BE=FG•DF；
（2）设AB=m，BC=n，CD=p，求证：tan∠FAD、tan∠BAF是方程mx²-nx+p=0的两个实数根．

Answer 1

分析：（1）连GF，过O点作OP⊥EF，P为垂足，则PE=PF，又DC⊥BC，AB⊥BC，则OP为直角梯形的中位线，得到PB=PC，则有BE=CF；由∠GFC=∠FAD，得到Rt△GFC∽Rt△ADF即可；
（2）由AD为⊙O的直径，∠DFA=90°，则∠DFC+∠AFB=90°，得到∠DFC=∠ABF，则Rt△DFC∽Rt△FAB，得DF：FA=FC：AB=DC：FB，而tan∠FAD=

DF

FA

、tan∠BAF=

BF

AB

，再计算它们的和与积，即可证明tan∠FAD、tan∠BAF是方程mx²-nx+p=0的两个实数根．

解答：证明：（1）连GF，过O点作OP⊥EF，P为垂足，则PE=PF，如图，
∵DC⊥BC，AB⊥BC，
∴OP为直角梯形的中位线，
∴PB=PC，
∴BE=CF，
又∵∠GFC=∠FAD，AD为⊙O的直径，∠DFA=90，
∴Rt△GFC∽Rt△ADF，
∴AD•BE=FG•DF；

（2）∵∠DFA=90°，
∴∠DFC+∠AFB=90°，
∴∠DFC=∠FAB，
∴Rt△DFC∽Rt△FAB，
∴DF：FA=FC：AB=DC：FB，
∵tan∠FAD=

DF

FA

，tan∠BAF=

BF

AB

，
∴tan∠FAD+tan∠BAF=

FD

FA

+

FB

AB

=

FC

AB

+

FB

AB

=

BC

AB

=

n

m

，tan∠FAD•tan∠BAF=

FD

FA

•

FB

AB

=

DC

FB

•

FB

AB

=

DC

AB

=

p

m

∴tan∠FAD、tan∠BAF是方程mx²-nx+p=0的两个实数根．

点评：本题考查了圆周角定理的推论：直径所对的圆周角为90度．同时考查了直角梯形的中位线性质，三角形相似的判定与性质，一元二次方程根与系数的关系．