Question

【题目】在中，，CD是中线，，一个以点D为顶点的45°角绕点D旋转，使角的两边分别与AC、BC的延长线相交，交点分别为点E、F，DF与AE交于点M，DE与BC交于点N．

（1）如图1，若，求证：；

（2）如图2，在绕点D旋转的过程中，试证明恒成立；

（3）若，，求DN的长．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）

【解析】

（1）根据等腰直角三角形的性质得到∠BCD＝∠ACD＝45°，∠BCE＝∠ACF＝90°，于是得到∠DCE＝∠DCF＝135°，根据全等三角形的性质即可的结论；
（2）证得△CDF∽△CED，根据相似三角形的性质得到，即CD2＝CECF；

（3）如图，过D作DG⊥BC于G，于是得到∠DGN＝∠ECN＝90°，CG＝DG，当CD＝2，时，求得，再推出△CEN∽△GDN，根据相似三角形的性质得到，求出GN，再根据勾股定理即可得到结论．

（1）证明：∵，，CD是中线，

∴，，

∴．

在与中，，

∴．

∴；

（2）证明：∵，

∴

∵，

∴．

∴．

∴，即．

（3）如图，过D作于点G，

则，．

当，时，

由，得．

在中，

．

∵，，

∴．

∴，

∴．

∴．