Question

直线y=x-6与x轴、y轴分别交于点A、B，点E从B点，出发以每秒1个单位的速度沿线段BO向O点移动（与B、O点不重合），过E作EF∥AB，交x轴于F，将四边形ABEF沿EF折叠，得到四边形DCEF，设点E的运动时间为t秒。
（1）①直线y=x-6与坐标轴交点坐标是A（___，___），B（___，___）；
②画出t=2时，四边形ABEF沿EF折叠后的图形（不写画法）；
（2）若CD交y轴于H点，求证：四边形DHEF为平行四边形；并求t为何值时，四边形DHEF为菱形（计算结果不需化简）；
（3）设四边形DCEF落在第一象限内的图形面积为S，求S关于t的函数表达式，并求出S的最大值．

Answer 1

解：（1）①直线与坐标轴交点坐标是A（6，0），B（0，-6）； ②如图1，四边形DCEF即为四边形ABEF沿EF折叠后的图形；
（2）∵四边形DCEF与四边形ABEF关于直线EF对称， 又AB∥EF， ∴CD∥EF， ∵OA=OB，∠AOB=90°， ∴∠BAO=45°， ∵AB∥EF， ∴∠AFE=135°， ∴∠DFE=∠AFE=135°， ∴∠AFD=360°-2×135°=90°， 即DF⊥x轴， ∴DF∥EH， ∴四边形DHEF为平行四边形， 要使□DHEF为菱形，只需EF=DF， ∵AB∥EF，∠FAB=∠EBA， ∴FA=EB， ∴DF=FA=EB=t， 又∵OE=OF=6-t， ∴EF=， ∴=t， ∴， ∴当时，□DHEF为菱形；
（3）分两种情况讨论： ①当0＜t≤3时，四边形DCEF落在第一象限内的图形是△DFG， ∴S=， ∵S=，在t＞0时，S随t增大而增大， ∴t=3时，S最大=； ②当3＜t＜6时， 四边形DCEF落在第一象限内的图形是四边形DHOF， ∴S四边形DHOF=S△DGF-S△HGO， ∴S= = =， ∵a=＜0， ∴S有最大值， ∴当t=4时，S最大=6， 综上所述，当S=4时，S最大值为6。