Question

【题目】我市某高科技公司生产一种矩形新型材料板，其长宽之比为 3∶2，每张材料板的成本 c与它的面积成正比例。每张材料板的销售价格 y与其宽 x 之间满足我们学习过的某种函数关系(即一次函数、反比例函数和二次函数关系中的一种)，下表记录了该工厂生产、销售该材料板一些数据：

（1）求一张材料板的销售格 y 其宽 x 之间的函数关系式 （不必写出自变的取值范围）

（2）若一张材料板的利润 w 为销售价格 y与成本 c 的差

①请直接写出一张材料板的利润 w 其宽 x 之间的函数关系 （不必写出自变的取值范围）

②当材料板的宽为多少时，一张材料板的利润最大，最大利润是多少？

Answer 1

【答案】（1） ；（2） ① ；②当宽为60cm时，利润最大 ，最大利润为900元.

【解析】

（1）根据图表可知所有点在一条直线上，故是一次函数，然后用待定系数法求出解析式并验证；

（2）①因为长宽之比为3：2，当宽为x时，则长为1.5x，根据矩形的面积公式可得x和y的关系进而得到c和x的关系，所以一张材料板的利润w与其宽x之间的函数关系可求出；②利用①中的函数性质即可求出当材料板的宽为多少时，一张材料板的利润最大，以及最大利润是多少．

解：（1）根据表中的数据判断，销售价格y于宽x之间的函数关系是一次函数，设其解析式为y＝kx＋b，

则24k＋b＝780，30k＋b＝900，

解得：k＝20，b＝300，

将x＝42，y＝1140和x＝54，y＝1380代入检验，满足条件

所以其解析式为y＝20x＋300；

（2）①∵矩形材料板，其长宽之比为3：2，

∴当宽为x时，则长为1.5x，

c＝1.5kx2；k＝，

即c＝x2，

∴w＝x2＋20x＋300；

②由①可知：w＝x2＋20x＋300＝（x60）2＋900，

∴当材料板的宽为60cm时，一张材料板的利润最大，最大利润是900元．